[论文解读] Fixed points and completeness in metric and in generalized metric spaces

Ştefan Cobzaş|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2015

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 132被引用 12

一句话总结

本文研究了不动点定理与度量空间完备性之间的逻辑关系，证明了某些不动点结果——特别是Ekeland变分原理和Caristi定理——在度量空间、拟度量空间和部分度量空间中蕴含完备性。研究建立表明，在许多广义度量设定下，特定类映射（如压缩映射、弱压缩映射）的不动点存在性与底层空间的完备性等价。

ABSTRACT

The famous Banach Contraction Principle holds in complete metric spaces, but completeness is not a necessary condition -- there are incomplete metric spaces on which every contraction has a fixed point. The aim of this paper is to present various circumstances in which fixed point results imply completeness. For metric spaces this is the case of Ekeland variational principle and of its equivalent - Caristi fixed point theorem. Other fixed point results having this property will be also presented in metric spaces, in quasi-metric spaces and in partial metric spaces. A discussion on topology and order and on fixed points in ordered structures and their completeness properties is included as well.

研究动机与目标

• 确定不动点定理在何种条件下可推出度量空间的完备性，从而挑战‘完备性仅为充分条件而非必要条件’的假设。
• 将不动点性质与完备性之间的等价关系从标准度量空间推广至广义结构，如拟度量空间和部分度量空间。
• 分析有序空间与广义度量空间中拓扑、序结构与不动点性质之间的相互作用。
• 提供逆向结果——即不动点的存在性迫使空间完备——从而通过不动点行为表征完备性。
• 统一并推广现有通过变分原理和不动点定理在多种广义度量框架下研究完备性的结果。

提出的方法

• 以Ekeland变分原理及其与Caristi不动点定理的等价性为核心工具，从不动点存在性推导完备性。
• 应用$w$-距离和$\tau$-距离的概念，推广不动点结果，并分析度量空间与拟度量空间中的完备性。
• 通过Branciari公理引入并分析广义度量空间，包括对四个不同点的广义三角不等式(GM3)。
• 将部分度量空间视为拟度量空间的特例，聚焦其拓扑结构、序结构及完备性性质。
• 利用Tataru距离和非扩张映射的强连续半群，探索非对称度量设定下的完备性。
• 运用序理论工具（如专门化序和区间拓扑）将不动点结果与有序结构中的序完备性联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，压缩映射的不动点存在性可推出其底层度量空间的完备性？
• RQ2 Ekeland原理等变分原理在多大程度上可表征广义度量空间中的完备性？
• RQ3 在拟度量或部分度量空间中，能否通过弱压缩映射或集值映射的不动点定理等价刻画完备性？
• RQ4 序理论性质（如定向完备性、序收敛）与有序度量空间中不动点存在性及完备性有何关联？
• RQ5 $w$-距离和$\tau$-距离在建立蕴含完备性的逆向不动点定理中起何种作用？

主要发现

• 当且仅当每个关于$w$-距离的弱压缩映射都有不动点时，度量空间才是完备的。
• 在完备度量空间中，Ekeland变分原理与Caristi不动点定理等价于完备性；反之，若二者成立，则可推出完备性。
• 在拟度量空间中，通过$w$-距离存在某类压缩映射的不动点，可推出Smyth完备性——一种非对称设定下的更强完备形式。
• 在部分度量空间中，Caristi定理成立当且仅当空间完备，从而建立了不动点存在性与完备性之间的紧密等价关系。
• Tataru距离（由强连续非扩张映射半群导出）是$w$-距离，但不一定是$\tau$-距离，其性质有助于刻画完备性。
• 本文推广了Borwein的结果：赋范空间的凸子集当且仅当其上每个压缩映射都有不动点时才是完备的。