[论文解读] Fixed Points for E-Asymptotic Contractions and Boyd-Wong Type E-Contractions in Uniform Spaces

Aris Aghanians, Kamal Fallahi+1 more|arXiv (Cornell University)|May 16, 2013

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 4被引用 3

一句话总结

本论文在配备 E-距离的分离一致空间中，建立了关于 E-渐近压缩与 Boyd-Wong 型 E-压缩的新不动点定理。通过利用 E-距离将 Kirk 与 Boyd-Wong 的不动点结果推广至一致空间设定，作者在 p-连续性、p-完备性及由 Φ 或 Ψ 中函数控制的压缩条件下，证明了不动点的存在性与唯一性，将经典度量空间结果推广至更广泛的拓扑结构。

ABSTRACT

In this paper we discuss on the fixed points of asymptotic contractions and Boyd-Wong type contractions in uniform spaces equipped with an E-distance. A new version of Kirk's fixed point theorem is given for asymptotic contractions and Boyd-Wong type contractions is investigated in uniform spaces.

研究动机与目标

• 将 Kirk 关于渐近压缩的不动点定理从完备度量空间推广至配备 E-距离的分离一致空间。
• 通过引入由函数 ψ ∈ Ψ 控制的新一类压缩映射，将 Boyd-Wong 的不动点定理扩展至一致空间。
• 建立 E-渐近压缩与 Boyd-Wong 型 E-压缩在 p-完备一致空间中具有唯一不动点的条件。
• 探讨 p-连续性与 p-完备性在确保迭代序列收敛至唯一不动点中的作用。
• 证明 E-距离框架可在经典连续性或严格压缩条件不成立时，仍能获得不动点结果。

提出的方法

• 通过一列函数 {φₙ} 一致收敛于 φ ∈ Φ，定义 E-渐近压缩，满足对所有 x,y ∈ X 和 n ≥ 1，有 p(Tⁿx, Tⁿy) ≤ φₙ(p(x,y))。
• 引入 Boyd-Wong 型 E-压缩，使用满足 p(Tx, Ty) ≤ ψ(p(x,y)) 的函数 ψ ∈ Ψ，其中 ψ 从右上半连续，且对所有 t > 0 有 ψ(t) < t。
• 利用通过 E-距离 p 定义的 p-收敛与 p-Cauchy 序列，分析迭代序列 Tⁿx 的收敛行为。
• 证明在 p-完备性与 p-连续性条件下，序列 {Tⁿx} 为 p-Cauchy 且 p-收敛于唯一不动点。
• 应用引理 1（p-极限的唯一性）证明 p(x,y) = 0 蕴含 x = y，从而确保不动点的唯一性。
• 基于 ψ 与 φₙ 的性质，使用反证法证明 p(Tⁿx, Tⁿy) → 0 且 {Tⁿx} 为 p-Cauchy，最终收敛于不动点。

实验结果

研究问题

• RQ1 Kirk 关于渐近压缩的不动点定理能否从度量空间推广至配备 E-距离的分离一致空间？
• RQ2 在配备 E-距离的一致空间中，Boyd-Wong 型 E-压缩在何种条件下具有唯一不动点？
• RQ3 E-距离的使用如何使在经典压缩条件可能不成立的一致空间中获得不动点结果成为可能？
• RQ4 p-连续性与 p-完备性在 E-距离框架中确保迭代序列收敛至不动点的过程中起什么作用？
• RQ5 当单个映射不连续或不严格压缩时，是否仍可在一致空间中建立不动点定理？

主要发现

• 论文证明了在 p-完备、分离的一致空间中配备 E-距离的任意 E-渐近压缩映射，均具有唯一不动点。
• 对于 Boyd-Wong 型 E-压缩，若 T 满足 p(Tx, Ty) ≤ ψ(p(x,y)) 且 ψ ∈ Ψ，则 T 在 X 中有唯一不动点 u，且对所有 x ∈ X，有 Tⁿx 沿 p-拓扑收敛于 u。
• 在 T 的 p-完备性与 p-连续性条件下，序列 {Tⁿx} 被证明为 p-Cauchy 且 p-收敛于唯一不动点 u。
• 证明依赖于反证法：假设 p(Tⁿx, Tⁿy) 的极限为 α > 0，则推出 α ≤ ψ(α)，与 ψ(t) < t 对 t > 0 矛盾。
• 不动点的唯一性由 p(u,v) ≤ ψ(p(u,v)) 推出 p(u,v) = 0，再由引理 1 可得 u = v。
• 提供了一个例子：一个不连续的映射满足 ψ(t) = t/4 的 E-压缩条件，但在度量意义下不满足标准的 Boyd-Wong 条件，从而展示了该框架的广泛适用性。