[论文解读] Fixed points of composite entire and quasiregular maps

Walter Bergweiler|ArXiv.org|Sep 27, 2005

Meromorphic and Entire Functions参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文提出了一种基于正规族的新证明方法，证明两个整函数的复合函数有无穷多个不动点，该结果被推广至在无穷远处具有本性奇点的 ℝᵈ 上的拟正则映射。该方法避开了 Wiman-Valiron 技术，转而运用覆盖理论与拟正规性理论，证明了存在无穷多个不动点，包括非实的和高度排斥的不动点。

ABSTRACT

We give a new proof of the result that if f and g are transcendental entire functions, then the composite function f(g) has infinitely many fixed points. The method yields a number of generalization of this result. In particular, it extends to quasiregular maps in space.

研究动机与目标

• 提供一个经典结果的新证明，即两个整超越函数的复合函数有无穷多个不动点。
• 将该结果推广至在无穷远处具有本性奇点的 ℝᵈ 上的拟正则映射。
• 证明整超越函数复合函数存在无穷多个非实不动点，从而解决 Clunie 提出的问题。
• 证明此类复合函数存在无穷多个排斥不动点，扩展了复动力系统中的早期结果。
• 证明不动点的导数可任意大，表明球面对应导数无界增长。

提出的方法

• 使用正规族与拟正规性理论，替代 Wiman-Valiron 方法，分析迭代复合函数的行为。
• 应用 Ahlfors 的覆盖理论，检测全纯映射在互不相交的约旦区域上的岛屿。
• 利用最大模原理与局部一致收敛性，推导出函数列在外尔有限例外集之外必趋于无穷。
• 运用 Nevanlinna 理论与特征函数估计，控制最大模的增长并度量大值集的测度。
• 在对数导数上应用积分估计，控制弧上球面对应导数的增长。
• 通过 Nevanlinna 特征的渐近界推导矛盾，表明增长假设会导致对数项无界。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以不使用 Wiman-Valiron 方法，证明整超越函数 f 和 g 的复合 f∘g 具有无穷多个不动点？
• RQ2 在无穷远处具有本性奇点的 ℝᵈ 上的拟正则映射 f 和 g，其复合 f∘g 是否有无穷多个不动点？
• RQ3 整超越函数复合 f∘g 是否存在无穷多个非实不动点？
• RQ4 能否保证 f∘g 存在导数任意大的不动点？
• RQ5 在整超越函数设定下，是否可证明 f∘g 存在无穷多个排斥不动点？

主要发现

• 两个整超越函数的复合 f∘g 具有无穷多个不动点，该结论通过正规族与 Ahlfors 覆盖理论得以证明。
• 复合 f∘g 具有无穷多个非实不动点，证实了 Clunie 的猜想，并推广了 Eremenko 与 Rubel 的结果。
• 存在一列 f∘g 的不动点 ξₙ，使得 |(f∘g)′(ξₙ)| → ∞，表明球面对应导数无界增长。
• 复合 f∘g 具有无穷多个排斥不动点，其结果强于不动点的存在性。
• 对于满足无穷远处具有本性奇点的拟正则映射 f,g:ℝᵈ→ℝᵈ，当 d≥2 时，f∘g 具有无穷多个不动点。
• 证明中的矛盾源于假设不动点仅有有限多个，从而导致 Nevanlinna 特征无界增长，违反渐近界。