[论文解读] Fixed points of discrete nilpotent group actions on S^2

S. Druck, Fuquan Fang+1 more|ArXiv.org|Sep 3, 2001

Geometric and Algebraic Topology参考文献 3被引用 3

一句话总结

该论文证明了：在2-球面 $S^2$ 上，由与恒等映射足够接近的 $C^1$ 微分同胚生成的离散幂零群作用（在依赖于幂零长度 $k$ 的邻域 $ ildes{ cal{V}}_k$ 内），必有不动点。此外，若此类作用具有有限非平凡轨道，则必至少有两个不动点，从而将博南蒂（Bonatti）关于交换微分同胚的结果推广至更高阶幂零群。

ABSTRACT

We prove that for each integer k of at least 2, there is an open neigborhood ν_k of the identity map of the 2-sphere S^2, in C^1-topology such that: if G is a nilpotent subgroup of Diff^1(S^2) with length k of nilpotency, generated by elements in ν_k, then the natural action on S^2 has non-empty fixed point set. Moreover, the G-action has at least two fixed points if the action has a finite non-trivial orbit.

研究动机与目标

• 将博南蒂在 $S^2$ 上对交换 $C^1$ 微分同胚的不动点定理推广至离散幂零群作用。
• 证明由 $\mathrm{Diff}^1(S^2)$ 中在 $C^1$-邻域内生成的 $k$-幂零子群必存在不动点。
• 证明此类作用中若存在有限非平凡轨道，则不动点集至少包含两个点。
• 将普兰特（Plante）关于连通幂零李群作用的结果推广至 $S^2$ 上的离散幂零群作用。

提出的方法

• 构造 $\mathrm{Diff}^1(S^2)$ 中恒等元的 $C^1$-开邻域递减嵌套序列 $\mathcal{V}_k$，其构造不依赖于生成元的数量。
• 对幂零长度 $k$ 进行归纳，利用下中心列将问题约化为低长度幂零子群。
• 应用主引理：若 $Fix(G_{(1)}, f_1, \dots, f_n)$ 非空且 $f_{n+1}$ 作用于其上，则 $Fix(G_{(1)}, f_1, \dots, f_{n+1})$ 亦非空。
• 利用 $\omega$-递归点及与微分同胚关联的特征曲线，在这些曲线所围成的圆盘内定位不动点。
• 利用不动点集的 $f$-不变性及推论 4.4，在嵌套圆盘内迭代构造不动点。
• 利用闭不动点集的有限交性质，将结果从有限生成集推广至无限生成集。

实验结果

研究问题

• RQ1 由 $C^1$-接近恒等元的元素生成的 $k$-幂零子群 $G \subset \mathrm{Diff}^1(S^2)$ 是否必有不动点？
• RQ2 若此类作用具有有限非平凡轨道，是否必至少有两个不动点？
• RQ3 博南蒂关于交换微分同胚的结果能否推广至 $S^2$ 上的高阶幂零群？
• RQ4 若幂零群作用的中心中存在一个元素 $h$ 满足 $2 \leq \#\mathrm{Fix}(h) < \infty$，是否意味着整个 $G$-作用至少有两个不动点？
• RQ5 普兰特关于连通幂零李群作用的定理能否推广至 $S^2$ 上的离散幂零群作用？

主要发现

• 对每个 $k \geq 2$，存在 $\mathrm{Diff}^1(S^2)$ 中恒等元的 $C^1$-邻域 $\mathcal{V}_k$，使得由 $\mathcal{V}_k$ 中元素生成的任意 $k$-幂零子群 $G \subset \mathrm{Diff}^1(S^2)$ 的不动点集非空。
• 若 $G$-作用具有有限非平凡轨道，则不动点集至少包含两个点。
• 只要生成元位于 $\mathcal{V}_k$ 内，无论生成元数量多少，$k$-幂零群作用在 $S^2$ 上的不动点集均非空。
• 若群 $G$ 的中心中存在一个元素 $h$ 满足 $2 \leq \#\mathrm{Fix}(h) < \infty$，则整个 $G$-作用至少有两个不动点。
• 结果可直接推广至 $\mathbb{RP}^2$，通过 $S^2 \to \mathbb{RP}^2$ 的万有覆盖保持不动点结论不变。
• 定理应用于叶状结构理论，表明 $S^2$ 或 $\mathbb{RP}^2$ 上平凡纤维化的小 $C^1$-扰动，其紧致叶必出现在纤维附近。