[论文解读] Fixed points of multiplicative contraction mappings on multiplicative metric spaces

Muttalip Özavşar, Adem C. Çevikel|arXiv (Cornell University)|May 23, 2012

Fixed Point Theorems Analysis被引用 21

一句话总结

本文引入了在乘法度量空间上的乘法压缩映射，并在完备乘法度量空间上建立了此类映射的不动点定理。证明了正实数集 ℝ₊ 在乘法度量下是完备的，并表明在特定压缩条件下（涉及常数 λ ∈ [0, 1/2)），映射存在唯一不动点，且迭代序列收敛于该不动点。

ABSTRACT

In this paper, we first discussed multiplicative metric mapping by giving some topological properties of the relevant multiplicative metric space. As an interesting result of our discussions, we observed that the set of positive real numbers $\\mathbb{R}_+$ is a complete multiplicative metric space with respect to the multiplicative absolute value function. Furthermore, we introduced concept of multiplicative contraction mapping and proved some fixed point theorems of such mappings on complete multiplicative metric spaces

研究动机与目标

• 研究乘法度量空间的拓扑结构，并建立完备性等基础性质。
• 定义并分析乘法压缩映射，将经典压缩原理推广至乘法设定。
• 在完备乘法度量空间上证明此类映射的不动点定理，确保不动点的存在性与唯一性。
• 通过具体例子展示结果的适用性，包括在 ℝ₊ 和 ℝ² 子集上的映射。
• 利用乘法三角不等式和反向三角不等式，将经典不动点理论从标准度量空间推广至乘法度量空间。

提出的方法

• 定义一个乘法度量 d:X×X→ℝ，满足：当 x≠y 时 d(x,y)>1，当且仅当 x=y 时 d(x,y)=1，具有对称性，以及乘法三角不等式 d(x,z)≤d(x,y)·d(y,z)。
• 引入乘法绝对值函数 |a|⁎=a（若 a≥1），1/a（若 a<1），用于在 ℝ₊ⁿ 和 ℂⁿ 上构造乘法度量。
• 建立乘法反向三角不等式：对所有 x,y,z∈X，有 |d(x,z)/d(y,z)|⁎ ≤ d(x,y)。
• 定义乘法开球与闭球，并证明开球是乘法开集，从而在 X 上构成一个拓扑。
• 提出满足 d(fx,fy)≤(d(fx,y)·d(fy,x))⁵ 的乘法压缩映射（λ∈[0,1/2)），并利用迭代序列证明收敛性。
• 利用空间的完备性，证明柯西序列 (xn) 收敛于极限 z，并通过极限论证证明 d(fz,z)=1 蕴含 fz=z。

实验结果

研究问题

• RQ1 在乘法度量 d(x,y)=|x/y|⁎ 下，正实数集 ℝ₊ 是否完备？
• RQ2 能否在完备乘法度量空间中建立乘法压缩映射的不动点定理？
• RQ3 在完备乘法度量空间上，映射 f:X→X 的不动点存在性与唯一性需满足何种条件？
• RQ4 在这些空间中，迭代序列 (fⁿx) 的行为如何？它们是否收敛于不动点？
• RQ5 能否利用乘法三角不等式与反向三角不等式，将经典不动点结果推广至乘法度量空间？

主要发现

• 在乘法绝对值函数 |a|⁎ 下，正实数集 ℝ₊ 是一个完备的乘法度量空间。
• 在 ℝ₊ 上，度量 d(x,y)=|x/y|⁎ 满足所有必要公理，包括乘法三角不等式。
• 对于满足 d(fx,fy)≤(d(fx,y)·d(fy,x))⁵ 且 λ∈[0,1/2) 的映射 f，在任意完备乘法度量空间中均存在唯一不动点。
• 在满足所述压缩条件的完备乘法度量空间中，迭代序列 (fⁿx) 收敛于不动点。
• 在 X=[0.1,1] 上的映射 f(x)=e^{x−1−x³/10} 满足乘法压缩条件（λ=0.997），在约 0.7411 处有唯一不动点。
• 在 X⊂ℝ² 上的例证中，d((a,b),(c,d))=(|a/c|⁎·|b/d|⁎)^{1/3}，在 λ=1/2 的压缩条件下，确认在 (1,1) 处存在唯一不动点。