[论文解读] Fixed points of multivariate smoothing transforms with scalar weights

Alexander Iksanov, Matthias Meiners|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2014

Probability and Risk Models参考文献 51被引用 15

一句话总结

本文表征了具有标量权重的多变量平滑变换的所有不动点，将先前结果扩展到权重可正可负的情况。结果表明，在此类情况下，不动点的形式为 $ W^* + W^{1/\beta} Y $，其中 $ Y $ 为对称 $ \beta $-稳定分布，且由于符号权重和相关的鞅极限，相较于非负权重情况，会出现额外的解。

ABSTRACT

Given a sequence $(C_1,\ldots,C_d,T_1,T_2,\ldots)$ of real-valued random variables with $N := \#\{j \geq 1: T_j ot = 0\} < \infty$ almost surely, there is an associated smoothing transformation which maps a distribution $P$ on $\mathbb{R}^d$ to the distribution of $\sum_{j \geq 1} T_j \mathbf{X}^{(j)} + \mathbf{C}$ where $\mathbf{C} = (C_1,\ldots,C_d)$ and $(\mathbf{X}^{(j)})_{j \geq 1}$ is a sequence of independent random vectors with distribution $P$ independent of $(C_1,\ldots,C_d,T_1,T_2,\ldots)$. We are interested in the fixed points of this mapping. By improving on the techniques developed in [G. Alsmeyer, J.D. Biggins, and M. Meiners. The functional equation of the smoothing transform {\em Ann. Probab.}, 40(5):2069--2105, 2012] and [G. Alsmeyer and M. Meiners. Fixed points of the smoothing transform: two-sided solutions. {\em Probab. Theory Related Fields}, 155(1-2):165--199, 2013], we determine the set of all fixed points under weak assumptions on $(C_1,\ldots,C_d,T_1,T_2,\ldots)$. In contrast to earlier studies, this includes the most intricate case when the $T_j$ take both positive and negative values with positive probability. In this case, in some situations, the set of fixed points is a subset of the corresponding set when the $T_j$ are replaced by their absolute values, while in other situations, additional solutions arise.

研究动机与目标

• 在弱矩和可积性假设下，识别具有标量权重的多变量平滑变换的所有不动点。
• 解决此前工作尚未完全处理的开放问题：即权重 $ T_j $ 以正概率取正值和负值的情况。
• 将已知的一维解结构（涉及稳定分布和鞅）推广至具有标量权重的多变量情形。
• 表征内生解的作用，以及符号权重导致的新解的出现，特别是通过乘法鞅和特征函数的机制。

提出的方法

• 改编并改进 Alsmeyer, Biggins, 和 Meiners (2012) 以及 Alsmeyer 和 Meiners (2013) 的技术，以处理多变量平滑变换中的符号权重。
• 使用特征函数和拉普拉斯变换分析分布不动点方程 $ \boldsymbol{X} \buildrel \text{law} \rightleftharpoons \boldsymbol{C} + \textstyle\bigsum_j T_j \boldsymbol{X}^{(j)} $。
• 通过 $ M_n(\boldsymbol{t}) = \text{exp}(i\boldsymbol{W}_n^*\boldsymbol{t}) \boldsymbol{\text{prod}}_{|v|=n} \tilde{\boldsymbol{\theta}}(L(v)\boldsymbol{t}) $ 引入乘法鞅结构，该结构几乎必然收敛且在均值意义下收敛。
• 应用无限可分性与稳定分布理论，特别是对称 $ \beta $-稳定分布，以描述解的形式。
• 采用测度变换技术，并利用表示加权分支过程中总质量的随机向量 $ \boldsymbol{W} $。
• 利用鞅的收敛性及 Lévy 测度的支撑结构，推导不动点特征函数的形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 当权重 $ T_j $ 可正可负时，多变量平滑变换的完整不动点集合是什么？
• RQ2 在符号权重情况下，不动点与非负权重情况下的不动点有何不同，特别是在解结构和额外解的存在性方面？
• RQ3 在一维情况下具有符号权重的解结构能否推广至具有标量权重的多变量情形？
• RQ4 乘法鞅和对称稳定分布在此类符号权重情形下表征不动点时起什么作用？
• RQ5 在何种条件下，不动点分布可表示为稳定分量与非退化随机位移的组合？

主要发现

• 不动点集合包括形如 $ W^* + W^{1/\beta} Y $ 的解，其中 $ Y $ 为与 $ (W^*, W) $ 独立的对称 $ \beta $-稳定分布，该结果将一维结果推广至多变量情形。
• 当权重 $ T_j $ 具有混合符号时，除将 $ T_j $ 替换为 $ |T_j| $ 所得解外，还会出现额外的不动点，这是由于出现了非负权重情况下不存在的新鞅极限。
• 当 $ 1 < \beta < 2 $ 时，不动点的特征函数为 $ \boldsymbol{\theta}(\boldsymbol{t}) = \boldsymbol{\text{exp}}\big( i\boldsymbol{W}^*\boldsymbol{t} - W \big( \textstyle\bigint |\boldsymbol{t}\boldsymbol{s}|^\beta \boldsymbol{\nu}(d\boldsymbol{s}) - i \tan(\frac{\beta\beta}{2}) \textstyle\bigint (\boldsymbol{t}\boldsymbol{s})^\beta |\boldsymbol{t}\boldsymbol{s}|^{\beta-1} \boldsymbol{\nu}(d\boldsymbol{s}) \big) \big) $，其中 $ \boldsymbol{\nu} $ 为对称 Lévy 测度。
• 不动点 $ \boldsymbol{X} $ 满足 $ \boldsymbol{X} \buildrel \text{law} \rightleftharpoons \boldsymbol{C} + \textstyle\bigsum_j T_j \boldsymbol{X}^{(j)} $，其分布由 $ (W^*, W) $ 的联合分布与一个对称 $ \beta $-稳定分量决定。
• 存在非退化解 $ \boldsymbol{X} $ 当且仅当相应的乘法鞅问题存在非退化解。
• 当 $ \beta = 2 $ 时，不动点为具有随机位移的正态分布，其解由高斯分量与确定性位移表征。