[论文解读] Fixed-Time Extremum Seeking

Jorge I. Poveda, Miroslav Krstić|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2019

Extremum Seeking Control Systems参考文献 41被引用 4

一句话总结

本文提出了一类固定时间极值搜索控制器，可保证在预定的、与初始条件无关的时间界限内收敛至最优解。通过基于平均化理论的新型梯度型与牛顿型动力学，针对非光滑系统，所提出的算法实现了静态与动态系统的固定时间收敛，其中牛顿型变体可实现完全可调的收敛时间，且与代价函数的性质无关。

ABSTRACT

We introduce a new class of extremum seeking controllers able to achieve fixed time convergence to the solution of optimization problems defined by static and dynamical systems. Unlike existing approaches in the literature, the convergence time of the proposed algorithms does not depend on the initial conditions and it can be prescribed a priori by tuning the parameters of the controller. Specifically, our first contribution is a novel gradient-based extremum seeking algorithm for cost functions that satisfy the Polyak-Lojasiewicz (PL) inequality with some coefficient κ> 0, and for which the extremum seeking controller guarantees a fixed upper bound on the convergence time that is independent of the initial conditions but dependent on the coefficient κ. Second, in order to remove the dependence on κ, we introduce a novel Newton-based extremum seeking algorithm that guarantees a fully assignable fixed upper bound on the convergence time, thus paralleling existing asymptotic results in Newton-based extremum seeking where the rate of convergence is fully assignable. Finally, we study the problem of optimizing dynamical systems, where the cost function corresponds to the steady-state input-to-output map of a stable but unknown dynamical system. In this case, after a time scale transformation is performed, the proposed extremum seeking controllers achieve the same fixed upper bound on the convergence time as in the static case. Our results exploit recent gradient flow structures proposed by Garg and Panagou in [3], and are established by using averaging theory and singular perturbation theory for dynamical systems that are not necessarily Lipschitz continuous. We confirm the validity of our results via numerical simulations that illustrate the key advantages of the extremum seeking controllers presented in this paper.

研究动机与目标

• 为解决极值搜索控制中持续存在的瞬态性能缓慢问题，特别是收敛时间随初始条件增长而无界的问题。
• 开发无需模型的极值搜索算法，实现固定时间收敛——即在与初始条件无关的预定上界时间内收敛，且无需了解代价函数的导数信息。
• 通过时间尺度变换与稳态输入-输出映射，将固定时间收敛保证扩展至动态系统。
• 利用广义平均化与奇异摄动理论，为非利普希茨系统建立理论基础，实现鲁棒的收敛性分析。
• 为未来在约束优化、博弈论设置以及具有固定时间收敛特性的时变优化器中的扩展提供框架。

提出的方法

• 针对满足Polyak-Lojasiewicz（PL）不等式的代价函数，提出一种固定时间梯度型极值搜索（FTGES）算法，其收敛时间上界依赖于PL常数κ。
• 提出一种固定时间牛顿型极值搜索（FTNES）算法，消除了对κ的依赖，通过控制器参数实现完全可调的收敛时间上界。
• 采用时间尺度分离结构，包含高频振荡与慢速动态，其中慢速动态通过平均化理论模拟梯度或牛顿流。
• 将广义平均化理论应用于非光滑、非利普希茨系统，以分析收敛性，将经典结果推广至非光滑极值搜索。
• 对动态系统执行时间尺度变换，将其稳态输入-输出行为映射为可保证固定时间收敛的形式。
• 推导出与标准梯度流或牛顿流匹配的简化平均动态，确保闭环系统在固定时间内跟踪最优解。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计极值搜索控制器，使其在静态优化问题中实现与初始条件无关的固定时间收敛？
• RQ2 能否使收敛时间上界完全可调且与代价函数的性质（特别是PL常数κ）无关？
• RQ3 能否通过利用稳态输入-输出映射，将固定时间收敛扩展至具有未知稳定动态的动态系统？
• RQ4 能否将平均化理论推广至分析极值搜索中出现的非光滑、非利普希茨系统？
• RQ5 能否将所提出的框架扩展至更复杂的场景，如约束优化或具有固定时间收敛特性的时变优化器？

主要发现

• FTGES算法实现了固定时间收敛，其收敛时间上界依赖于PL常数κ，但与初始条件无关。
• FTNES算法通过利用类似牛顿的动力学，实现了完全可调的固定时间收敛上界，且与κ和初始条件无关。
• 对于动态系统，在经过时间尺度变换后，极值搜索控制器实现了与静态情况相同的固定时间收敛上界。
• 所提控制器的简化平均动态与标准梯度流或牛顿流相匹配，在适当假设下可确保收敛至全局最小值。
• 数值仿真验证了理论结果，表明收敛速度快且有界，与初始条件无关。
• 理论分析基于非利普希茨系统的广义平均化与奇异摄动理论，将先前结果推广至非光滑极值搜索。