[论文解读] Flat affine symplectic Lie groups

Fabricio Valencia|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2019

Advanced Topics in Algebra参考文献 23被引用 4

一句话总结

本文通过李代数的左对称代数的Nijenhuis上同调，利用辛仿射étale表示和双扩张，提出了一类平坦仿射辛李群的新表征。证明了每个单连通的平坦仿射辛李群若配备双不变辛联络，则包含一个非平凡的一参数中心平移子群，并通过迭代双扩张在每个偶数维中构造出所有此类群。

ABSTRACT

We give a new characterization of flat affine manifolds in terms of an action of the Lie algebra of classical infinitesimal affine transformations on the bundle of linear frames. We characterize flat affine symplectic Lie groups using symplectic étale affine representations and as a consequence of this, we show that a flat affine symplectic Lie group with bi-invariant symplectic connection contains a nontrivial one parameter subgroup formed by central translations. We give two methods for constructing flat affine symplectic Lie groups, thus obtaining all those having bi-invariant symplectic connections. We get nontrivial examples of simply connected flat affine symplectic Lie groups in every even dimension.

研究动机与目标

• 通过辛仿射étale表示表征平坦仿射辛李群。
• 证明单连通的平坦仿射辛李群若配备双不变辛联络，则包含非平凡的一参数中心平移子群。
• 利用左对称代数的Nijenhuis上同调发展双扩张方法，以构造所有此类李群。
• 建立这些群上左不变平坦仿射辛联络的测地完备性条件。
• 证明具有正规阿贝尔拉格朗日子群的平坦仿射辛李群，即为平坦仿射李群的扭曲余切辛李群。

提出的方法

• 通过经典无穷小仿射变换李代数在仿射框架丛上的作用，对平坦仿射流形提出新表征。
• 利用辛仿射étale表示表征平坦仿射辛李群。
• 通过Nijenhuis上同调对低维代数进行双扩张，构造平坦仿射辛李代数。
• 利用交换乘积和 $ Z_{SG}^2(rak{g}, rak{g}^*) $ 中的2-上循环，定义平坦仿射李群的扭曲余切辛李群。
• 从原始乘积和上循环导出 $ rak{g} \times \frak{g}^* $ 上的左对称乘积，以定义群结构。
• 应用Helmstetter准则：左不变平坦仿射联络测地完备当且仅当所有群元素的右乘算子为幂零。

实验结果

研究问题

• RQ1 平坦仿射辛李群在何种条件下包含非平凡的一参数中心平移子群？
• RQ2 如何系统地构造所有单连通的平坦仿射辛李群，其配备双不变辛联络？
• RQ3 平坦仿射辛李群与平坦仿射李群的扭曲余切辛李群之间有何关系？
• RQ4 在构造的群上，左不变平坦仿射辛联络在何种情况下测地完备？
• RQ5 Nijenhuis上同调与双扩张在生成平坦仿射辛李代数中起何种作用？

主要发现

• 每个配备双不变辛联络的单连通平坦仿射辛李群均包含一个非平凡的一参数中心平移子群。
• 所有配备双不变辛联络的单连通平坦仿射辛李群均可通过低维平坦仿射辛李代数的双扩张构造。
• 扭曲余切辛李群构造产生平坦仿射辛李群结构，当且仅当原始李群为平坦仿射且2-上循环属于 $ Z_{SG}^2(\frak{g}, \frak{g}^*) $。
• 扭曲余切群上诱导联络的测地完备性成立，当且仅当原始右乘算子与交换乘积相关映射均为幂零。
• 在每个偶数维中均存在非平凡的单连通平坦仿射辛李群例子，通过双扩张方法构造。
• 扭曲余切群上左不变平坦仿射辛联络测地完备，当且仅当原始联络测地完备。