[论文解读] Flat bundles and commutator lengths

R. İnanç Baykur|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文为亏格 $g \geq 2$ 的曲面的边界平行德恩扭转的 $n$ 次幂在映射类群中的换位子长度提供了初等证明，表明其值为 $\lfloor (|n|+3)/2 \rfloor$。通过使用推进映射和米尔诺-伍德不等式，作者构造了无限多对非同伦的 4-流形族，这些流形具有带截面的平坦曲面丛，但不存在使截面平行的平坦联络——推广了贝斯特维纳、丘奇与苏托的结果，并为莫里塔的非提升定理提供了新证明。

ABSTRACT

The purpose of this article is two-fold: We first give a more elementary proof of a recent theorem of Korkmaz, Monden, and the author, which states that the commutator length of the n-th power of a Dehn twist along a boundary parallel curve on a surface with boundary S of genus g at least two is the floor of (|n|+3)/2 in the mapping class group of S. The alternative proof we provide goes through push maps and Morita's use of Milnor-Wood inequalities, in particular it does not appeal to gauge theory. In turn, we produce infinite families of pairwise non-homotopic 4-manifolds admitting genus g surface bundles over genus h surfaces with distinguished sections which are flat but admit no flat connections for which the sections are flat, for every fixed pairs of integers g and h at least two. The latter result generalizes a theorem of Bestvina, Church, and Souto, and allows us to obtain a simple proof of Morita's non-lifting theorem (for an infinite family of non-conjugate subgroups) in the case of marked surfaces.

研究动机与目标

• 为边界曲面映射类群中 $t_\delta^n$ 的换位子长度提供更初等的证明，避免使用规范场论。
• 构造无限多对非同伦的 4-流形族，这些流形是具有指定截面的平坦曲面丛，但不存在保持截面平行的平坦联络。
• 将贝斯特维纳、丘奇与苏托关于阿蒂yah-科达尔丛的结果推广至非全纯、辛的 4-流形，具有相同的几何障碍。
• 通过拓扑构造而非规范场论，为莫里塔的非提升定理提供新证明，适用于标记曲面映射类群中的非共轭子群。

提出的方法

• 使用推进映射和米尔诺-伍德不等式分析曲面丛的欧拉类，替代规范场论方法。
• 通过广义 lantern 关系构造单值表示分解，以实现所需的映射类群元素。
• 应用命题 3，通过截面的自交数来阻碍平坦联络的存在：若截面的自交数非零且不被 4 整除，则其无法平行。
• 利用同调计算 ($H_1(X_m) = \mathbb{Z}^{2h+2g-3} \oplus \mathbb{Z}_m$) 区分流形在同伦意义下的差异。
• 通过截面求和与纤维求和操作，将初始丛稳定化为无限多对非同伦的总空间族。
• 利用存在不相交截面（一个自交数为零，一个自交数非零）的性质，推导出不可提升的单值表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 在亏格 $g \geq 2$ 的曲面上，对于边界平行的德恩扭转 $t_\delta$，$t_\delta^n$ 在 $\operatorname{Map}(\Sigma)$ 中的换位子长度是多少？
• RQ2 能否构造无限多对非同伦的 4-流形，使其为平坦曲面丛，但不具有使给定截面平行的平坦联络？
• RQ3 莫里塔的非提升定理能否通过拓扑构造而非规范场论方法重新证明？
• RQ4 此类具有非平行化截面的平坦丛是否必然具有复结构？
• RQ5 截面的自交数如何阻碍曲面丛中平坦联络的存在？

主要发现

• 在 $\operatorname{Map}(\Sigma)$ 中，$t_\delta^n$ 的换位子长度为 $\lfloor (|n|+3)/2 \rfloor$，这是首次精确计算出亏格 $g \geq 2$ 的映射类群中非零稳定换位子长度的实例。
• 对于所有满足 $g,h \geq 2$ 且当 $g=2$ 时 $h \geq 4$ 的 $g,h$，存在无限多对非同伦的 4-流形 $X_m$ 和 $Y_m$，它们是亏格 $g$ 的曲面在亏格 $h$ 的曲面上的平坦丛，具有平坦联络，但不存在使指定截面平行的平坦联络。
• 尽管 $X_m$ 和 $Y_m$ 是辛流形，但无论何种方向均不具有复结构，表明复结构并非平坦性障碍的必要条件。
• 截面 $S$ 的自交数——$X_m$ 中为 $2h-2$，$Y_m$ 中为 $2h-4$——根据命题 3，阻碍了使 $S$ 平行的平坦联络的存在。
• 单值表示 $\mu_{f_m}: \pi_1(\Sigma_h) \to \operatorname{Map}(\Sigma)$（带 $r$ 个标记点）无法提升至 $\operatorname{Diff}^+(\Sigma)$，从而为 $g,h \geq 2$ 提供了无穷多对非共轭子群。
• 同调群 $H_1(X_m) = \mathbb{Z}^{2h+2g-3} \oplus \mathbb{Z}_m$ 和 $H_1(Y_m) = \mathbb{Z}^{2h+1} \oplus \mathbb{Z}_m$ 确保了当 $m$ 不同时，$X_m$ 与 $Y_m$ 互不同伦。