[论文解读] Flat nearly Kähler manifolds

Vicente Cortés, Lars Schaefer|ArXiv.org|Oct 5, 2006

Geometry and complex manifolds参考文献 6被引用 4

一句话总结

该论文对具有不定度量的平坦严格近乎凯勒流形进行了分类，表明它们在局部上是平坦伪凯勒因子与分裂符号 (2m,2m) 的严格近乎凯勒流形的乘积，其中 m ≥ 3。后者的几何结构由一个复三形式 ζ ∈ Λ³(ℂᵐ)⁎ 编码，首个非平凡例子出现在 12 维。

ABSTRACT

We classify flat strict nearly Kähler manifolds with (necessarily) indefinite metric. Any such manifold is locally the product of a flat pseudo-Kähler factor of maximal dimension and a strict flat nearly Kähler manifold of split signature $(2m,2m)$ with $m\ge 3$. Moreover, the geometry of the second factor is encoded in a complex three-form $ζ\in Λ^3 (\mathbb{C}^m)^*$. The first nontrivial example occurs in dimension $4m=12$.

研究动机与目标

• 对配备不定（伪黎曼）度量的平坦严格近乎凯勒流形进行分类。
• 理解此类流形的几何结构，特别是其局部分解与全纯性性质。
• 建立完备单连通平坦近乎凯勒流形（无伪凯勒德姆分解因子）与复三形式上 GLₘ(ℂ)-轨道之间在最大支撑下的对应关系。
• 阐明在平坦性条件下，具有反对称挠率的典范联络在近乎凯勒条件中的作用。
• 证明除凯勒情形外，不存在具有定度量的此类流形。

提出的方法

• 利用 Levi-Civita 联络的平坦性，构造一个具有完全反对称挠率 T = -2η 的典范赫米特联络 ∇，其中 η = ½JDJ。
• 通过一个实三形式 η ∈ Λ³V 满足两个约束条件来刻画近乎凯勒结构：各向同性支撑与类型条件。
• 将三形式 η 表示为 η = ζ + ζ̄，其中 ζ ∈ Λ³(ℂᵐ)⁎ 是一个复三形式，编码 (2m,2m) 符号因子的几何结构。
• 证明 η 的各向同性支撑是 ℂᵐᵐ 中关于 J_can-不变的复子空间 L ⊂ ℂᵐᵐ，复维数为 m ≥ 3。
• 应用分解定理，证明任意严格平坦近乎凯勒流形在局部上可分解为平坦伪凯勒因子与严格 (2m,2m) 符号因子的乘积。
• 建立 GLₘ(ℂ)-轨道与 Λ³(ℂᵐ)⁎ 上具有最大支撑的开子集之间，与无伪凯勒德姆因子的完备单连通近乎凯勒流形的同构类之间的双射对应关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有不定度量的平坦严格近乎凯勒流形的局部几何结构是什么？
• RQ2 哪些实三形式 η ∈ Λ³V 会生成平坦近乎凯勒结构，且必须满足何种约束？
• RQ3 能否从复三形式 ζ ∈ Λ³(ℂᵐ)⁎ 构造出一个无伪凯勒德姆因子的完备单连通平坦近乎凯勒流形？
• RQ4 为何此类流形仅存在于维度 4m ≥ 12，且为何定度量例子被排除？
• RQ5 GLₘ(ℂ)-轨道如何对 Λ³(ℂᵐ)⁎ 上的这些流形的同构类型进行分类？

主要发现

• 任何具有不定度量的平坦严格近乎凯勒流形在局部上同构于一个最大维数的平坦伪凯勒流形与一个分裂符号 (2m,2m) 的严格近乎凯勒流形的乘积，其中 m ≥ 3。
• (2m,2m) 符号因子的几何结构由复三形式 ζ ∈ Λ³(ℂᵐ)⁎ 编码，其中 η = ζ + ζ̄ 决定整体结构。
• 首个非平凡的严格平坦近乎凯勒流形出现在 12 维，对应于 m = 3。
• 不存在具有定度量（正或负）的严格平坦近乎凯勒流形，因为此类流形必为凯勒流形。
• 一个无伪凯勒德姆因子的完备单连通平坦近乎凯勒流形存在的充要条件是其关联三形式 ζ 具有最大支撑。
• 此类流形的同构类与 Λ³(ℂᵐ)⁎ 上具有最大支撑的三形式构成的开子集上的 GLₘ(ℂ)-轨道之间存在双射对应关系。