[论文解读] Flatness of invariant manifolds for stochastic partial differential equations driven by L\\'{e}vy processes

Stefan Tappe|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文证明，由 Lévy 过程驱动的非线性随机偏微分方程（SPDEs）的不变流形表现出一种最小平坦度——定义为所有局部切空间中包含的最大线性子空间的维数——其值等于具有小跳跃的驱动 Lévy 过程的数量。该结果源于证明与这些过程相关的波动率位于流形的切空间中，从而暗示了线性结构。该结论将先前关于 HJM 模型中仿射叶状结构的结果推广至一般带有 Lévy 噪声的 SPDEs。

ABSTRACT

The purpose of this note is to prove that the flatness of an invariant manifold for a semilinear stochastic partial differential equation driven by L\\'{e}vy processes is at least equal to the number of driving sources with small jumps. We illustrate our findings by means of an example.

研究动机与目标

• 确定由 Lévy 过程驱动的 SPDE 的不变流形所必须具备的最小平坦度（线性结构）。
• 将先前关于 HJM 模型中仿射叶状结构的结果推广至一般非线性 SPDEs 及其 Lévy 噪声。
• 刻画在具有小跳跃的 Lévy 过程影响下，不变流形的几何结构。
• 建立具有小跳跃的驱动源数量决定了不变流形平坦度的下限。

提出的方法

• 将子流形的平坦度定义为所有点处局部切空间中所包含的最大线性子空间的维数。
• 利用流形在 SPDE 动力学下的不变性，证明具有小跳跃的 Lévy 过程所对应的波动率必须位于切空间中。
• 应用文献 [8] 中的结果，推导出对于每个具有小跳跃的 Lévy 过程，其波动率映射在流形中生成一条线段，从而暗示切性。
• 通过使用切空间的正交基构造流形的局部参数化，并应用隐函数定理，将流形分解为低维子流形与线性子空间的乘积。
• 利用流形的闭包性与 C3 正则性，确保其可全局分解为子流形与线性空间的直和。
• 利用路径连通性与局部平坦度的一致性，证明平坦度维数在整个流形上全局恒定。

实验结果

研究问题

• RQ1 由 Lévy 过程驱动的 SPDE 的不变流形必须具备的最小平坦度（线性结构）是多少？
• RQ2 驱动 Lévy 过程中存在小跳跃如何影响不变流形的几何结构？
• RQ3 不变流形的平坦度能否被具有小跳跃的 Lévy 过程数量所界定？
• RQ4 在何种条件下，不变流形的切空间会包含与小跳跃 Lévy 过程相关的波动率向量？
• RQ5 不变流形的平坦度维数是否全局恒定？其是否可分解为低维子流形与线性空间的乘积？

主要发现

• 由 Lévy 过程驱动的 SPDE 的不变流形的平坦度至少等于驱动 Lévy 过程中具有小跳跃的数量。
• 对于每个具有小跳跃的 Lévy 过程，其对应的波动率向量位于流形上每一点的切空间中。
• 由所有具有小跳跃的 Lévy 过程的波动率所张成的线性子空间，包含于流形上每一点的切空间中。
• 该流形可全局分解为一个低维 Ck-子流形与一个维数等于小跳跃源数量的线性子空间的直和。
• 平坦度维数在整个流形上全局恒定，且流形在局部微分同胚于一个子流形与一个线性空间的乘积。
• 该结果将 HJM 模型中观察到的叶状结构性质推广至更广泛的 Lévy 过程驱动的 SPDE 类别。