[论文解读] Flatness of Tensor Products and Semi-Rigidity for $C_2$-cofinite Vertex Operator Algebras II

Masahiko Miyamoto|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 16被引用 17

一句话总结

该论文证明，若一个 $C_2$-余紧的共形场论型顶点算子代数（VOA）的迹函数在 $S$-变换中仅包含迹函数（不含伪迹函数），则该 VOA 是半刚性且有理的。关键结果表明，在此条件下，所有单模都是半刚性的，且其迹函数均出现在 $S$-变换中，该结果进一步应用于 $C_2$-余紧的群 orbifold VOA，证明在相同条件下这些 orbifold VOA 也是有理的。

ABSTRACT

Let V be a simple C_2-cofinite VOA of CFT-type and we assume that there is a simple module U such that \Hom_V(U\boxtimes V',V) ot=0 where V' is a restricted dual of V. As the author has shown, an S-transformation S(Ψ_V) of a trace function Ψ_V on V corresponding \begin{pmatrix}0&-1\cr 1&0\end{pmatrix} may contain pseudo-trace functions. Our assumption in this paper is that no pseudo-trace functions appear in S(Ψ_V). Under these assumptions, we prove that every V-module W is semirigid and Ψ_W appears in S(Ψ_V). As a corollary of our main theorem, a fixed point subVOA of a rational VOA of CFT-type by an automorphism of finite order becomes rational if fixed point subVOA is C_2-cofinite.

研究动机与目标

• 研究 $C_2$-余紧的共形场论型 VOA 中非半单模的结构。
• 确定迹函数在 $V$ 上的 $S$-变换中不包含伪迹函数的条件。
• 在该条件下建立 $C_2$-余紧 VOA 的半刚性与有理性。
• 通过 $S$-变换中伪迹函数的缺失，为 orbifold VOA 的有理性提供充分条件。

提出的方法

• 假设假设 I：对每个不可约 $V$-模 $W$，存在 $\widetilde{W}$，使得 $\mathrm{Hom}_V(W\boxtimes\widetilde{W}, V) \neq 0$。
• 施加假设 II：$S$-变换 $S(\Psi_V^{\mathrm{tr}})$ 仅为迹函数的线性组合（不含伪迹函数）。
• 使用迹函数 $\Psi_V^{\mathrm{tr}}(v,\tau) = \mathrm{Tr}_V(o(v)q^{\tau(L(0)-c/24)})$ 及其在 $\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix} \in SL_2(\mathbb{Z})$ 作用下的变换。
• 应用 $C_2$-余紧 VOA 中对数互化算子与融合积结合律的理论。
• 通过扭模及自同构作用，构造迹函数的几何修正形式。
• 将结果应用于 orbifold VOA $T^\tau$，其中 $T$ 为有理 VOA 且 $\tau$ 为有限自同构，证明 $S(\Psi_{T^\tau}^{\mathrm{tr}})$ 不包含伪迹函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，$C_2$-余紧 VOA 上迹函数的 $S$-变换中仅包含迹函数而不含伪迹函数？
• RQ2 若 $S(\Psi_V^{\mathrm{tr}})$ 中缺失伪迹函数，是否意味着 VOA 具有半刚性与有理性？
• RQ3 能否证明 orbifold VOA $T^\tau$ 上迹函数的 $S$-变换不包含伪迹函数？
• RQ4 若 $S(\Psi_{T^\tau}^{\mathrm{tr}})$ 中无伪迹函数，是否可推出 $T^\tau$ 的有理性？
• RQ5 当无伪迹函数存在时，$T^\tau$ 上迹函数的 $S$-变换是否包含所有单模的迹函数？

主要发现

• 若 $S(\Psi_V^{\mathrm{tr}})$ 仅为迹函数的线性组合（不含伪迹函数），则所有单 $V$-模均为半刚性。
• 所有单模 $U$ 上的迹函数 $\Psi_U^{\mathrm{tr}}$ 均以非零系数出现在 $S(\Psi_V^{\mathrm{tr}})$ 中。
• 对于有理 VOA $T$ 的 $C_2$-余紧 orbifold 模型 $V = T^\tau$（共形场论型），$S(\Psi_V^{\mathrm{tr}})$ 不包含伪迹函数。
• 因此，此类 orbifold 模型 $V = T^\tau$ 是有理的。
• $V = T^\tau$ 上迹函数的 $S$-变换是其单 $V$-模上迹函数的线性组合。
• 主定理表明，在假设 I 与 II 成立时，$V$ 为半刚性，且所有单模均以非零权重参与 $S$-变换。