[论文解读] Flattability of Priority Vector Addition Systems

Roland Guttenberg|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2024

Advanced Control Systems Optimization被引用 1

一句话总结

本文证明了具有嵌套零测试的优先级向量自动机（PVAS）在可达性关系为半线性时是可展平的，并且其具有半线性归纳不变量。作者引入了对运行序列的良拟序（wqo），并提出了基于标准VAS关系与单调Kleene星的正则表达式表征，从而通过平滑周期关系与锥近似技术，证明了可展平性与归纳不变量的存在性。

ABSTRACT

Vector addition systems (VAS), also known as Petri nets, are a popular model of concurrent systems. Many problems from many areas reduce to the reachability problem for VAS, which consists of deciding whether a target configuration of a VAS is reachable from a given initial configuration. One of the main approaches to solve the problem on practical instances is called flattening, intuitively removing nested loops. This technique is known to terminate for semilinear VAS. In this paper, we prove that also for VAS with nested zero tests, called Priority VAS, flattening does in fact terminate for all semilinear reachability relations. Furthermore, we prove that Priority VAS admit semilinear inductive invariants. Both of these results are obtained by defining a well-quasi-order on runs of Priority VAS which has good pumping properties.

研究动机与目标

• 将标准VAS的可展平性结果扩展至具有嵌套零测试的优先级VAS。
• 证明优先级VAS中半线性可达性关系可拥有半线性归纳不变量。
• 通过展示其在所有扩展中不成立（例如二维VAS带重置操作）来确立可展平性的理论边界。
• 提出一种基于带单调星操作的标准VAS关系的正则表达式表征，用于描述PVAS的可达性关系。
• 为未来研究PVAS可达性问题的半线性性质与复杂性奠定基础工具。

提出的方法

• 在优先级VAS的运行序列上引入良拟序（wqo），以支持泵送论证，并捕捉运行的结构性质。
• 定义PVAS可达性关系的新表征方式：作为标准VAS关系上的正则表达式，其中Kleene星仅作用于单调关系。
• 证明对于单调关系E与常数c，变换关系PE∗,c是平滑且周期性的，满足渐近可定义性与良好定向性。
• 使用具有有界计数器的有限图来建模运行序列，并提取生成可定义锥的最小环，以近似可达配置的方向集。
• 应用[21]中关于反射性、渐近可定义周期关系的结果，证明当可达性关系为半线性时，其为可展平的。
• 利用wqo与锥近似技术，证明存在可分离不可达配置的半线性归纳不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 若优先级VAS的可达性关系为半线性，其是否可展平？
• RQ2 优先级VAS是否具有可分离不可达配置的半线性归纳不变量？
• RQ3 能否使用带单调星操作的标准VAS关系上的正则表达式来表征优先级VAS的可达性关系？
• RQ4 可展平性是否可扩展至具有嵌套零测试的系统，抑或存在此类扩展的理论极限？
• RQ5 优先级VAS运行序列上的wqo能否用于推导半线性与可达性问题的可判定性或复杂性结果？

主要发现

• 具有半线性可达性关系的优先级VAS是可展平的，将[21]中关于标准VAS的结果推广至PVAS。
• PVAS中半线性可达性关系可拥有半线性归纳不变量，将[18]中的结果推广至优先级设置。
• PVAS的可达性关系可表示为标准VAS可达性关系上的正则表达式，其中Kleene星仅作用于单调关系。
• 对于单调关系E与常数c，变换关系PE∗,c是平滑且渐近可定义的，从而支持基于锥的近似技术。
• 运行序列上的wqo支持泵送论证，并可构造出近似可达配置方向集的可定义锥。
• 研究结果确立了理论边界：尽管二维VAS带零测试与重置操作是有效半线性的，但其一般不可展平，表明可展平性无法推广至所有半线性扩展。