[论文解读] Flexible Weinstein manifolds

Kai Cieliebak, Yakov Eliashberg|arXiv (Cornell University)|May 7, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文证明了在形式类内，柔性 Weinstein 流形在同伦意义下唯一确定，其依据是松散 Legendrian 子流形的 h-原理。关键结果是：同一流形上任意两个形式同伦的柔性 Weinstein 结构，均可通过柔性结构实现同伦，从而在四维以上辛拓扑中实现强大的分类与嵌入结果。

ABSTRACT

This survey on flexible Weinstein manifolds is, essentially, an extract from our recent joint book.

研究动机与目标

• 在形式类内建立柔性 Weinstein 结构在同伦意义下的唯一性。
• 将松散 Legendrian 子流形的 h-原理推广至柔性 Weinstein 流形的设定。
• 为通过柔性胞胎分解对开流形上的辛结构进行分类提供框架。
• 推导在高维辛嵌入与接触同伦问题中的应用。
• 厘清形式同伦类与实际 Weinstein 结构同伦类之间的关系。

提出的方法

• 利用松散 Legendrian 子流形的 h-原理构造柔性 Weinstein 结构。
• 应用 Moser 的稳定性定理，在保持辛结构的同时变形 Liouville 形式。
• 通过在边界附近固定的 exhausting 函数的 Morse 同伦构造 Weinstein 同伦。
• 采用微分同胚 $ h_t $ 归一化 Liouville 形式，实现所需的辛同伦。
• 利用完备化过程将 Weinstein 域与有限型 Weinstein 流形关联起来。
• 应用相对 h-原理将同伦延拓至柱状端部，同时保持柔性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在形式类内对流形上的柔性 Weinstein 结构实现同伦意义下的唯一分类？
• RQ2 松散 Legendrian 子流形的 h-原理对 Weinstein 结构分类有何影响？
• RQ3 在何种条件下，柔性 Weinstein 域的光滑嵌入可同伦为辛嵌入？
• RQ4 柔性 Weinstein 流形的辛嵌入在多大程度上依赖于 Liouville 形式的选取？
• RQ5 在满足柔性条件时，接触流形的任意伪同伦是否均可实现为接触同伦？

主要发现

• 柔性 Weinstein 结构在形式类内同伦唯一，其依据为 h-原理。
• 任意两个形式同伦的柔性 Weinstein 结构，均可通过柔性结构实现同伦，意味着在同伦意义下可分类。
• 对任一闭合接触流形（维度 $ \geq 5 $）的微分同胚，若其伪同伦于恒等映射，则其微分同胚于一个接触微分同胚。
• 对任意柔性 Weinstein 域 $ (W,\omega,X,\phi) $，任意满足 $ d\Lambda $ 同伦于 $ \omega $ 的 Liouville 形式 $ \Lambda $，在相差一个恰当形式的意义下，同伦于原 Liouville 形式 $ \lambda $ 的倍数。
• 对任意光滑嵌入 $ f_0: W \hookrightarrow X $，若 $ f_0^*\Omega $ 是恰当的，且 $ df_0 $ 同伦于辛映射，则存在小的 $ \varepsilon > 0 $，使得 $ f_1: (W,\varepsilon\omega) \hookrightarrow (X,\Omega) $ 为辛嵌入。
• 若与 $ \Lambda $ 对偶的 Liouville 向量场是完备的，则对任意大的 $ \varepsilon $，辛嵌入均存在，从而扩展了适用范围。