[论文解读] Flipturning polygons

Oswin Aichholzer, Carmen Cortés+8 more|ArXiv.org|Aug 16, 2000

Computational Geometry and Mesh Generation被引用 4

一句话总结

本文研究了翻转操作——即对多边形凹陷部分（袋形）绕其边界边中点进行180°旋转——以将简单多边形凸化。研究建立了翻转序列的紧致界：正交多边形最多通过 $n-5$ 次任意翻转或 $ floor 5(n-4)/6 floor$ 次精心选择的翻转实现凸化，而一般简单多边形最多需要 $n^2 - 4n + 1$ 次翻转。所有序列的最终凸多边形形状唯一，且可在 $O(nackslashlog n)$ 时间内计算得出。

ABSTRACT

A flipturn is an operation that transforms a nonconvex simple polygon into another simple polygon, by rotating a concavity 180 degrees around the midpoint of its bounding convex hull edge. Joss and Shannon proved in 1973 that a sequence of flipturns eventually transforms any simple polygon into a convex polygon. This paper describes several new results about such flipturn sequences. We show that any orthogonal polygon is convexified after at most n-5 arbitrary flipturns, or at most 5(n-4)/6 well-chosen flipturns, improving the previously best upper bound of (n-1)!/2. We also show that any simple polygon can be convexified by at most n^2-4n+1 flipturns, generalizing earlier results of Ahn et al. These bounds depend critically on how degenerate cases are handled; we carefully explore several possibilities. We describe how to maintain both a simple polygon and its convex hull in O(log^4 n) time per flipturn, using a data structure of size O(n). We show that although flipturn sequences for the same polygon can have very different lengths, the shape and position of the final convex polygon is the same for all sequences and can be computed in O(n log n) time. Finally, we demonstrate that finding the longest convexifying flipturn sequence of a simple polygon is NP-hard.

研究动机与目标

• 建立更紧致的上界，以确定凸化简单多边形和正交多边形所需翻转次数。
• 分析所有翻转序列下最终凸多边形的唯一性。
• 研究寻找凸化所需最长翻转序列的计算复杂度。
• 设计一种高效的数据结构，用于在翻转操作过程中维护多边形及其凸包。

提出的方法

• 将翻转定义为将多边形的袋形部分绕其盖边中点旋转180°，反转边的顺序但不改变边长或方向。
• 通过组合与几何分析，对正交多边形和一般简单多边形的翻转序列进行界约束。
• 构建从子集和问题的归约，以证明寻找最长翻转序列的NP难性。
• 设计一种数据结构，利用 $O(n)$ 空间，在每次翻转操作中以 $O(\log^4 n)$ 时间维护多边形及其凸包。
• 证明最终凸多边形与翻转序列无关，从而可 $O(n\log n)$ 时间内计算出标准凸形状。
• 仔细分析退化情形，以确保界在各种多边形配置下均紧致且稳健。

实验结果

研究问题

• RQ1 任何简单多边形凸化所需的翻转次数最大是多少？这一数值如何依赖于多边形类型？
• RQ2 是否可以高效且唯一地计算任意翻转序列产生的最终凸多边形？
• RQ3 寻找凸化多边形所需的最长翻转序列在计算上是否困难？
• RQ4 在动态翻转操作过程中，多边形及其凸包能否被高效维护？
• RQ5 正交多边形是否比一般简单多边形需要更少的翻转次数？目前已知的最紧界是什么？

主要发现

• 任意正交多边形最多通过 $n - 5$ 次任意翻转即可实现凸化，优于先前 $(n-1)!/2$ 的界。
• 对于正交多边形，最多只需 $ floor 5(n-4)/6 floor$ 次精心选择的翻转即可实现凸化。
• 一般简单多边形最多通过 $n^2 - 4n + 1$ 次翻转即可实现凸化，推广了早期结果。
• 所有翻转序列的最终凸多边形完全相同，且可在 $O(n\log n)$ 时间内计算得出。
• 在翻转操作过程中，维护简单多边形及其凸包的时间复杂度为每次操作 $O(\log^4 n)$，空间复杂度为 $O(n)$。
• 寻找能凸化给定简单多边形的最长翻转序列是NP难的，即使对于正交多边形也是如此。