[论文解读] Floating-Point Numbers with Error Estimates (revised)

Glauco Masotti|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2012

Numerical Methods and Algorithms参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文提出一种浮点数的数据结构，将估计的误差信息与数值一同存储，从而在计算过程中实现精确的误差追踪。通过监控相对误差估计并动态调整精度，该方法确保结果的有效性，检测病态问题，并通过专用硬件实现最小性能开销的稳健、误差有界计算。

ABSTRACT

The study addresses the problem of precision in floating-point (FP) computations. A method for estimating the errors which affect intermediate and final results is proposed and a summary of many software simulations is discussed. The basic idea consists of representing FP numbers by means of a data structure collecting value and estimated error information. Under certain constraints, the estimate of the absolute error is accurate and has a compact statistical distribution. By monitoring the estimated relative error during a computation (an ad-hoc definition of relative error has been used), the validity of results can be ensured. The error estimate enables the implementation of robust algorithms, and the detection of ill-conditioned problems. A dynamic extension of number precision, under the control of error estimates, is advocated, in order to compute results within given error bounds. A reduced time penalty could be achieved by a specialized FP processor. The realization of a hardwired processor incorporating the method, with current technology, should not be anymore a problem and would make the practical adoption of the method feasible for most applications.

研究动机与目标

• 解决浮点数计算中的精度损失和误差传播问题。
• 开发一种方法，用于估计中间结果和最终结果的绝对误差与相对误差。
• 基于误差估计实现动态精度调整，以保证结果的准确性。
• 支持设计一种专用硬件处理器，将误差估计集成其中，性能开销最小化。
• 通过误差监控检测病态问题，提升数值算法的可靠性。

提出的方法

• 将浮点数表示为同时存储数值与估计误差的数据结构，支持误差感知的算术运算。
• 采用自定义的相对误差定义，确保计算过程中误差保持稳定且统计紧凑。
• 对误差传播施加约束，以保证估计的绝对误差保持准确。
• 在整个计算过程中监控误差估计，以检测是否需要提高精度。
• 倡导使用专用浮点处理器进行硬件加速实现，以最小化运行时开销。
• 将误差估计集成到算术运算中，实现需要时的自动精度扩展。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在保证足够精度和紧凑性的前提下，对浮点数计算中的绝对误差与相对误差进行估计？
• RQ2 能否利用误差估计在计算过程中动态调整精度，以满足用户指定的误差界限？
• RQ3 误差估计对计算性能有何影响？是否可通过硬件支持将其最小化？
• RQ4 如何通过计算过程中的误差追踪检测病态问题？
• RQ5 是否可行实现一种原生支持误差估计算术的专用浮点处理器？

主要发现

• 在给定约束条件下，所提出的误差估计方法能保持准确且紧凑分布的绝对误差估计。
• 自定义的相对误差定义可实现对计算过程中数值稳定性的可靠监控。
• 误差估计可通过对误差界快速增长的识别，实现对病态问题的检测。
• 基于误差估计的动态精度扩展可确保结果始终在用户定义的误差界限内。
• 当前技术条件下，该方法的硬件实现是可行的，且仅带来轻微的时间开销。
• 软件仿真证实，该方法在多种数值问题和数据类型中均有效。