[论文解读] Floer cohomology of torus fibers and real lagrangians in Fano toric manifolds

Garrett Alston, Lino Amorim|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 15被引用 11

一句话总结

该论文使用 F₂ 系数和 F₂ 上的局部常值层，通过扭曲的 Floer 复形，建立了 Fano 素性流形中环面纤维与实拉格朗日子流形之间 Floer 上同调的组合描述。证明了当且仅当势函数的梯度 ∇Wc(ρ) = 0 时，Floer 上同调 HF(R, (Lc, Lρ)) 非零，从而将 HF(R, (Lc, Lρ)) 的非零性与环面势函数的临界点条件联系起来，并利用该结果证明了非位移性及哈密顿同伦下交点数的下界。

ABSTRACT

In this article, we consider the Floer cohomology (with $\Z_2$ coefficients) between torus fibers and the real Lagrangian in Fano toric manifolds. We first investigate the conditions under which the Floer cohomology is defined, and then develop a combinatorial description of the Floer complex based on the polytope of the toric manifold. We show that if the Floer cohomology is defined, and the Floer cohomology of the torus fiber is non-zero, then the Floer cohomology of the pair is non-zero. We use this result to develop some applications to non-displaceability and the minimum number of intersection points under Hamiltonian isotopy.

研究动机与目标

• 理解在 Fano 素性流形中，环面纤维与实拉格朗日子流形之间 Floer 上同调的定义条件。
• 利用多面体和取值于 F₂ 的局部常值层，建立 Floer 复形的纯组合描述。
• 通过势函数 Wc 建立 HF(R, (Lc, Lρ)) 非零的精确判据，该判据与 Wc 的临界点相关。
• 利用组合描述推导实拉格朗日子流形与环面纤维哈密顿同伦像之间交点数的下界。
• 通过乘积流形中的辅助构造及 F₂ 的代数闭包，证明实拉格朗日子流形与环面纤维的非位移性。

提出的方法

• 利用 Fano 素性流形的多面体定义 Floer 复形的组合模型。
• 通过取值于 F₂ 的局部常值层 Lρ 扭曲标准 Floer 上链复形，以刻画拉格朗日对 (R, Lc)。
• 通过计数连接 R 与 Lc 交点的 Maslov 指数为 1 的全纯胶状带，定义微分。
• 应用 [9] 中的一般 Floer 理论框架定义上同调，随后证明其与组合计数一致。
• 利用 F₂ 的代数闭包确保 Wc(ρ) = 0 和 ∇Wc(ρ) = 0 的解存在，从而支持非位移性结果。
• 构造乘积流形 (XP × XP)，当 HF(R, (Lc, Lρ)) 未定义时，通过定义 HF(R × R, (Lc × Lc, Lρ ⊕ Lρ)) 恢复非位移性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 Fano 素性流形中，当环面纤维 Lc 与实拉格朗日子流形 R 满足何种条件时，Floer 上同调 HF(R, (Lc, Lρ)) 是良定义的？
• RQ2 如何利用多面体对 R 与 Lc 之间的 Floer 复形进行纯组合描述？
• RQ3 HF(R, (Lc, Lρ)) 的非零性与势函数 Wc 的临界点之间存在何种精确关系？
• RQ4 组合描述如何导出 R 与 Lc 的哈密顿同伦像之间交点数的下界？
• RQ5 当 HF(R, (Lc, Lρ)) 未定义时，能否通过辅助构造证明 R 与 Lc 的非位移性？

主要发现

• Floer 上同调 HF(R, (Lc, Lρ)) 良定义当且仅当势函数满足 Wc(ρ) = 0。
• HF(R, (Lc, Lρ)) 非零当且仅当 ∇Wc(ρ) = 0，从而在上同调与 Wc 的临界点之间建立了直接联系。
• 对任意哈密顿微分同胚 φ，若 φ(RP^k) 与 T^k 横截相交，则交点数满足 ♯(φ(RP^k) ∩ T^k) ≥ 2⌊k/2⌋。
• 当 ∇Wc(ρ) = 0 但 Wc(ρ) ≠ 0 时，HF(R, (Lc, Lρ)) 未定义，但 R 与 Lc 仍保持非位移。
• 在单调情形下，存在唯一的单调环面纤维 L0，使得对某个 Lρ 有 ∇W0(ρ) = 0，这意味着 R 与 L0 非位移：对所有哈密顿变换 φ，有 φ(R) ∩ L0 ≠ ∅。
• 通过乘积流形构造，当原始上同调未定义时，可通过 HF(R × R, (Lc × Lc, Lρ ⊕ Lρ)) 恢复非位移性，且该上同调的秩提供了交点数的下界。