[论文解读] Floer homologies for Lagrangian intersections and instantons

Ronnie Lee, Wei-Ping Li|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 1995

Geometric and Algebraic Topology被引用 5

一句话总结

本文建立了拉格朗日子空间交点的弗洛尔同调与瞬子弗洛尔同调之间的联系，将卡森不变量推广至同调框架。通过在联络空间上构建莫尔斯理论方法并利用全纯曲线，作者定义了一种新不变量，该不变量推广了卡森不变量，并为研究3-流形及其SU(2)表示提供了强大工具。

ABSTRACT

In 1985 lectures at MSRI, A. Casson introduced an interesting integer valued invariant for any oriented integral homology 3-sphere Y via beautiful constructions on representation spaces (see [1] for an exposition). The Casson invariant λ(Y) is roughly defined by measuring the oriented number of irreducible representations of the fundamental group π_1(Y) in SU(2). Such an invariant generalized the Rohlin invariant and gives surprising corollaries in low dimensional topology.

研究动机与目标

• 通过弗洛尔同调技术将卡森不变量推广为同调不变量。
• 在3-流形中建立拉格朗日子空间交点弗洛尔同调与瞬子弗洛尔同调之间的联系。
• 通过不可约SU(2)表示的计数，提供卡森不变量的同调精化。
• 建立一个通过表示空间的拓扑与全纯曲线研究3-流形的框架。
• 推广罗欣不变量，并探索低维拓扑中的新拓扑不变量。

提出的方法

• 在对称积中的全纯曲线背景下，为3-流形中拉格朗日子空间交点构造弗洛尔同调理论。
• 将莫尔斯理论应用于3-流形上SU(2)联络空间上的陈-西蒙斯泛函。
• 定义由不可约平坦SU(2)联络生成的链复形，微分通过计数伪全纯曲线确定。
• 利用反自对偶联络（瞬子）的模空间定义瞬子弗洛尔同调。
• 建立连接拉格朗日子空间弗洛尔同调与瞬子弗洛尔同调的谱序列。
• 通过不可约表示的带符号计数，将所得同调的欧拉示性数与卡森不变量关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 卡森不变量能否通过弗洛尔理论被范畴化为同调不变量？
• RQ2 在3-流形中，拉格朗日子空间交点弗洛尔同调与瞬子弗洛尔同调之间有何关系？
• RQ3 在3-流形中，不可约SU(2)表示的带符号计数具有何种拓扑意义？
• RQ4 在联络空间上的莫尔斯理论构造能否恢复已知不变量（如卡森不变量）？
• RQ5 伪全纯曲线在连接辛几何与规范理论不变量中起何种作用？

主要发现

• 本文构建了一种新的弗洛尔同调理论，对整同调3-球面的卡森不变量实现了范畴化。
• 证明了瞬子弗洛尔同调的欧拉示性数等于卡森不变量，确认了其拓扑意义。
• 建立了连接拉格朗日子空间弗洛尔同调与瞬子弗洛尔同调的谱序列，将辛几何与规范理论不变量联系起来。
• 同调群是有限维的，并在保向微分同胚下保持不变，确认了其拓扑性质。
• 该构造提供了一个框架，可将卡森不变量计算为不可约SU(2)表示的带符号计数。
• 该方法推广了罗欣不变量，并为通过规范理论与辛几何研究3-流形拓扑提供了新工具。