[论文解读] Floer homology of Lagrangian submanifolds

Kenji Fukaya|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 43被引用 7

一句话总结

本文综述了由 Fukaya、Oh、Ohta 和 Ono 开发的拉格朗日 Floer 同调，这是一种辛拓扑不变量，用于配对拉格朗日子流形。该理论在自旋或相对自旋结构下建立，证明了关键性质，如在哈密顿同伦下的不变性，以及当 $L_1 = L_2 = L$ 时与奇异上同调的同构性；并通过超势能 $W$ 和量子上同调，将其与同调镜像对称联系起来，提出了关于 $W$ 的临界值与矩阵因子化及导范畴之间关系的猜想。

ABSTRACT

This is a translation of an article appeared in Japanese in Suugaku 63 (2011), no. 1, 43-66 (MR2790665) and is a survey of Lagrangian Floer homology which the author studies jointly with Y.-G.Oh, H. Ohta, and K. Ono. It also contains some explanation on its relation to (homological) mirror symmetry.

研究动机与目标

• 提供拉格朗日 Floer 同调的全面综述，这是辛拓扑中的一个关键不变量。
• 在自旋或相对自旋结构下建立该理论，克服一般情形下的障碍。
• 探索 Floer 同调与同调镜像对称之间的联系，特别是通过超势能 $W$。
• 提出并检验关于 $W$ 的临界值与矩阵因子化及凝聚层导范畴之间关系的猜想。
• 通过将 $X$ 的量子上同调与 $W$ 的平坦结构联系起来，弥合辛几何与复几何之间的鸿沟。

提出的方法

• 通过在拉格朗日子流形之间的路径空间上构造类莫尔斯同调，利用伪全纯曲线定义 Floer 上同调 $HF(L_1, L_2)$。
• 使用 $A_\frown$-结构和 $A_\frown$-函子，定义一个拉格朗日子流形范畴 $\mathcal{LAG}(X)$，其中 Floer 上同调作为态射。
• 通过边界位于拉格朗日子流形上的全纯盘定义超势能 $W: \hat{X} \to \Lambda_0$，将其与量子上同调及第一陈类联系起来。
• 引入 $\mathfrak{PO}(b)$ 的概念，即在边界链 $b$ 处求值的势函数，用于检测非零的 Floer 上同调。
• 应用 Seidel 在精确辛流形上对 $W$ 的消失循环构造一个方向化的 $A_\infty$-范畴 $\mathcal{LAG}(X,W)$。
• 猜想 $\mathcal{LAG}(X,W)$ 的导范畴与镜像法诺流形 $\hat{X}$ 上的凝聚层导范畴等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一般辛流形中，如何在 $\pi_2(X,L)=0$ 假设之外，一致地定义拉格朗日子流形的 Floer 上同调？
• RQ2 超势能 $W$ 的临界值与 $HF((L,b),(L,b))$ 非零之间的精确关系是什么？
• RQ3 能否将 $A_\infty$-范畴 $\mathcal{LAG}(X,W)$ 的导范畴识别为镜像法诺流形 $\hat{X}$ 上的凝聚层导范畴？
• RQ4 在镜像对称的背景下，$X$ 的量子上同调如何与超势能 $W$ 的平坦结构相关联？
• RQ5 在何种条件下，势函数 $W$ 能检测到带有边界链 $b$ 的拉格朗日子流形存在非平凡的 Floer 上同调？

主要发现

• Floer 上同调 $HF(L_1, L_2)$ 在 $L_1$ 和 $L_2$ 的哈密顿同伦下保持不变，满足性质 (ii)。
• 当 $L_1 = L_2 = L$ 时，$HF(L,L)$ 同构于奇异上同调 $\bigoplus_{i=0}^n H^i(L)$，满足性质 (iii)。
• 若 $L_1$ 与 $L_2$ 横截相交，则 $HF(L_1, L_2)$ 由至多 $\#(L_1 \cap L_2)$ 个元素生成，满足性质 (iv)。
• 对于自旋拉格朗日子流形 $L$，若存在边界链 $b \in \mathcal{M}(L)$ 使得 $HF((L,b),(L,b)) \neq 0$，则 $\mathfrak{PO}(b)$ 是 $W$ 的临界值，支持猜想 10.1。
• $A_\infty$-范畴 $\mathcal{LAG}(X,W)$ 的导范畴被猜想与镜像法诺流形 $\hat{X}$ 上的凝聚层导范畴等价，如猜想 10.4 所述。
• 定义在 $\hat{X}$ 上的超势能 $W$ 与 Floer 理论中的势函数一致，其临界值对应于与 $c_1(X)$ 的量子上杯积的特征值。