[论文解读] Flow by Gauss curvature to the Aleksandrov and dual Minkowski problems

Qi-Rui Li, Weimin Sheng+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 26被引用 9

一句话总结

本文引入一种速度为 $ fr^\alpha K $ 的收缩高斯曲率流，证明当 $ f \equiv 1 $ 时其光滑收敛至球面，当 $ f $ 为一般函数时收敛至 Aleksandrov 问题与对偶 $ q $-Minkowski 问题的解（当 $ \alpha \geq n+1 $ 时）。当 $ \alpha < n+1 $ 时，在偶性与对称性假设下仍可实现收敛，通过抛物型方法解决了长期存在的存在性问题。

ABSTRACT

In this paper we study a contracting flow of closed, convex hypersurfaces in the Euclidean space $\mathbb R^{n+1}$ with speed $f r^α K$, where $K$ is the Gauss curvature, $r$ is the distance from the hypersurface to the origin, and $f$ is a positive and smooth function. If $α\ge n+1$, we prove that the flow exists for all time and converges smoothly after normalisation to a soliton, which is a sphere centred at the origin if $f \equiv 1$. Our argument provides a parabolic proof in the smooth category for the classical Aleksandrov problem, and resolves the dual q-Minkowski problem introduced by Huang, Lutwak, Yang and Zhang (Acta Math. 216 (2016): 325-388), for the case $q&lt;0$. If $α&lt; n+1$, corresponding to the case $q&gt;0$, we also establish the same results for even function $f$ and origin-symmetric initial condition, but for non-symmetric $f$, counterexample is given for the above smooth convergence.

研究动机与目标

• 在光滑范畴内为经典 Aleksandrov 问题提供抛物型证明，即寻找具有给定高斯曲率的超曲面。
• 通过基于流的方法解决 $ q < 0 $ 时的对偶 $ q $-Minkowski 问题，将已知的弱解结果推广至光滑范畴。
• 研究速度为 $ fr^\alpha K $ 的收缩高斯曲率流的渐近行为，特别关注不同 $ \alpha $ 值及 $ f $ 的对称性条件。
• 通过 Krylov 正则性理论与函数单调性，建立一致的曲率与径向函数有界性，以证明光滑收敛。
• 确定当 $ \alpha < n+1 $ 时，非对称 $ f $ 导致光滑收敛失败的条件，并提供反例。

提出的方法

• 作者研究如下流：$ \frac{\partial X}{\partial t} = -f(\nu) r^\alpha K \nu $，其中 $ K $ 为高斯曲率，$ r = |X| $，$ f $ 为定义在 $ \mathbb{S}^n $ 上的正则光滑函数。
• 利用最大值原理技术，证明了归一化超曲面 $ \widetilde{\mathcal{M}}_t $ 的径向函数 $ r(\cdot,t) $ 及主曲率的统一上下界。
• 当 $ \alpha \geq n+1 $ 时，归一化流光滑收敛至解出 Aleksandrov 问题（$ \alpha = n+1 $）或对偶 $ q $-Minkowski 问题（$ \alpha > n+1 $，$ q = n+1 - \alpha \leq 0 $）的极限超曲面。
• 当 $ \alpha < n+1 $ 时，仅在 $ f $ 为偶函数且初始超曲面关于原点对称的条件下，可证明光滑收敛，通过构造次解显示若无此条件则径向有界性不成立。
• 证明依赖于一个函数单调性论证（公式 1.9）与 Krylov 的正则性理论，将曲率有界性提升至光滑收敛。
• 通过构造在保持正最大半径的同时坍缩至原点的次解，构造出反例，表明当 $ \alpha < n+1 $ 且 $ f $ 非偶函数时，径向有界性不成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ \alpha = n+1 $ 时，流 $ \partial_t X = -f r^\alpha K \nu $ 是否光滑收敛至 Aleksandrov 问题的解？
• RQ2 能否通过基于流的方法在光滑范畴内求解 $ q < 0 $ 的对偶 $ q $-Minkowski 问题？
• RQ3 哪些关于 $ f $ 与 $ \alpha $ 的条件能保证流的光滑收敛？在何种情况下收敛会失败？
• RQ4 对于 Aleksandrov 问题，条件 $ \int_{\mathbb{S}^n} f^{-1} d\sigma = \text{const} $ 是否必要？该流是否绕过了此条件？
• RQ5 在对称性假设下，该流能否用于构造所有 $ q \in \mathbb{R} $ 的对偶 $ q $-Minkowski 问题的光滑解？

主要发现

• 当 $ \alpha \geq n+1 $ 时，流全局存在并经归一化后光滑收敛至解出 Aleksandrov 问题的超曲面（当 $ \alpha = n+1 $ 时）。
• 当 $ \alpha > n+1 $ 时，流光滑收敛至对偶 $ q $-Minkowski 问题的解，其中 $ q = n+1 - \alpha \leq 0 $，从而在光滑范畴内解决了该情形。
• 当 $ \alpha < n+1 $ 时，若 $ f $ 为偶函数且初始数据关于原点对称，则光滑收敛成立；但对非偶函数 $ f $，收敛失败，反例显示径向函数有界性不成立。
• 该流为经典 Aleksandrov 问题在光滑范畴内提供了独立于已知必要条件 $ \int f^{-1} d\sigma = \text{const} $ 的抛物型证明。
• 当 $ f \equiv 1 $ 且 $ \alpha \geq n+1 $ 时，归一化流指数快速收敛至单位球面。
• 通过分段 $ C^{1,1} $ 图像构造次解，表明当 $ \alpha < n+1 $ 且 $ f $ 非偶函数时，径向函数有界性不成立，从而否定光滑收敛。