[论文解读] Flow Rounding

Donggu Kang, James Payor|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2015

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 7被引用 6

一句话总结

本文提出了一种高效的流舍入算法，通过将带权流舍入和随机流舍入均简化为环路消去，实现了 $O(m \log(n^2/m))$ 的时间复杂度。该方法可实现最优整数流选择，同时保证预期流匹配度与成本保持。

ABSTRACT

We consider flow rounding: finding an integral flow from a fractional flow. Costed flow rounding asks that we find an integral flow with no worse cost. Randomized flow rounding requires we randomly find an integral flow such that the expected flow along each edge matches the fractional flow. Both problems are reduced to cycle canceling, for which we develop an $O(m \log(n^2/m))$ algorithm.

研究动机与目标

• 解决将分数流转换为整数流的同时保持成本或预期流值的问题。
• 将流舍入问题简化为一种广为人知的优化原语——环路消去。
• 设计一种确定性和随机流舍入算法，实现更优的时间复杂度。
• 通过利用环路消去结构，实现流舍入的近似最优时间界限。

提出的方法

• 通过将成本约束建模为残差网络调整，将带权流舍入问题简化为环路消去。
• 通过概率边选择确保预期流保持不变，将随机流舍入问题简化为环路消去。
• 应用一种新的 $O(m \log(n^2/m))$ 算法求解环路消去，以解决两种流舍入变体。
• 使用残差网络表示分数流，并通过迭代消除负环路，收敛至整数解。
• 在整个环路消去过程中保持流守恒和边容量约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 带权流舍入能否通过环路消去实现，且具有可证明的效率？
• RQ2 能否通过环路消去求解随机流舍入，同时保持预期流值？
• RQ3 利用环路消去可实现的流舍入最优时间复杂度是多少？
• RQ4 如何调整环路消去以同时处理带权和随机流舍入？

主要发现

• 本文在环路消去上实现了 $O(m \log(n^2/m))$ 的时间复杂度，该结果可直接应用于带权和随机流舍入。
• 带权流舍入可通过环路消去求解，且与分数解相比成本无任何下降。
• 随机流舍入的实现使得每条边上的预期流与分数流完全匹配。
• 向环路消去的约化使得两种流舍入变体能够采用统一且高效的方法。