[论文解读] Flows and invariance for elliptic operators

Tom Ter Elst, Derek W. Robinson+1 more|ArXiv.org|Mar 31, 2009

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文建立了在具有 $ W^{1,ty} $ 系数的退化椭圆型算子 $ H $ 的分歧形式下生成的次马尔可夫半群作用下，$ L^2(\Omega) $-不变性的刻画。证明了对所有 $ t > 0 $，有 $ S_t L^2(\Omega) \subseteq L^2(\Omega) $ 当且仅当半群在由向量场 $ \sum_{l=1}^d c_{kl} \partial_l $ 生成的流下不变，前提是 $ \Omega $ 具有适度正则性或 $ C_c^\infty(\mathbb{R}^d) $ 具有核性质。

ABSTRACT

Let $S$ be the submarkovian semigroup on $L_2({\bf R}^d)$ generated by a self-adjoint, second-order, divergence-form, elliptic operator $H$ with $W^{1,\infty}$ coefficients $c_{kl}$. Further let $Ω$ be an open subset of ${\bf R}^d$. Under mild conditions we prove that $S$ leaves $L_2(Ω)$ invariant if, and only if, it is invariant under the flows generated by the vector fields $\sum_{l=1}^d c_{kl} \partial_l$ for all $k$.

研究动机与目标

• 刻画由具有 $ W^{1,\infty} $ 系数的退化椭圆型算子 $ H $ 生成的次马尔可夫半群 $ S $ 在 $ L^2(\Omega) $ 上的不变性。
• 建立半群不变性与 $ L^2(\Omega) $ 在由向量场 $ \sum_{l=1}^d c_{kl} \partial_l $ 生成的流下的不变性之间的联系。
• 确定 $ C_c^\infty(\mathbb{R}^d) $ 是 $ H $ 的核的充分条件，以确保半群不变性与流不变性等价。
• 将该刻画推广至由 $ C_c^\infty $-光滑函数 $ \psi $ 生成的流，证明其与原始流族的等价性。

提出的方法

• 将自伴算子 $ H $ 定义为对称算子 $ H_0 = -\sum_{k,l} \partial_k c_{kl} \partial_l $ 的弗里德里希斯扩张，其中 $ c_{kl} \in W^{1,\infty}(\mathbb{R}^d) $，确保 $ H $ 生成一个次马尔可夫半群 $ S $。
• 引入向量场 $ Y_k = \sum_{l=1}^d c_{kl} \partial_l $，其 $ L^2 $-闭包生成一参数酉群 $ T^{(k)} $，称为流。
• 利用谱理论和 $ Y_k $ 的斜自伴性，证明 $ S $-不变性蕴含对所有 $ k $ 的 $ T^{(k)} $-不变性。
• 建立 $ T^{(k)} $-不变性与由 $ \sum_{k,l} (\partial_k \psi) c_{kl} \partial_l $ 生成的流 $ T^\psi $ 的不变性之间的等价性，其中 $ \psi \in C_c^\infty(\mathbb{R}^d) $。
• 通过单位分解技术和截断函数的局部逼近，证明在 $ c_{kl} \in W^{2,\infty}(\mathbb{R}^d) $ 或系数局部可逆且光滑的条件下，$ C_c^\infty(\mathbb{R}^d) $ 是 $ H $ 的核。
• 利用狄利克雷型式的局部性与二次型的闭性，将不变性性质在局部与全局算子之间进行转移。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，由退化椭圆型算子 $ H $ 生成的半群 $ S $ 在 $ L^2(\Omega) $ 上不变？
• RQ2 $ L^2(\Omega) $ 在 $ S $ 下的不变性是否等价于其在由向量场 $ \sum_{l=1}^d c_{kl} \partial_l $ 生成的流下的不变性？
• RQ3 $ \Omega $ 或系数 $ c_{kl} $ 的何种正则性条件可确保 $ C_c^\infty(\mathbb{R}^d) $ 是 $ H $ 的核？
• RQ4 由 $ C_c^\infty $-函数 $ \psi $ 生成的流与由单个向量场 $ Y_k $ 生成的流之间有何关系？
• RQ5 $ L^2(\Omega) $ 在 $ S $ 下的不变性能否简化为与光滑测试函数相关联的一族流的不变性？

主要发现

• 若 $ \Omega $ 是具有局部利普希茨边界区域，或 $ C_c^\infty(\mathbb{R}^d) $ 是 $ H $ 的核，则半群 $ S $ 保持 $ L^2(\Omega) $ 不变当且仅当由向量场 $ \sum_{l=1}^d c_{kl} \partial_l $ 生成的流 $ T^{(k)} $ 也保持 $ L^2(\Omega) $ 不变。
• $ T^{(k)} $-不变性与由 $ \sum_{k,l} (\partial_k \psi) c_{kl} \partial_l $ 生成的流 $ T^\psi $ 的不变性等价，对所有 $ \psi \in C_c^\infty(\mathbb{R}^d) $ 成立。
• 若 $ c_{kl} \in W^{2,\infty}(\mathbb{R}^d) $，或更一般地，若 $ c_{kl} $ 局部属于 $ W^{2,\infty} $ 且系数矩阵局部可逆，则 $ C_c^\infty(\mathbb{R}^d) $ 是 $ H $ 的核。
• 反例表明，仅具有 $ W^{1,\infty} $ 正则性的 $ c_{kl} $ 不足以保证 $ C_c^\infty(\mathbb{R}^d) $ 是 $ H $ 的核，如一维算子 $ c(x) = |x|^{2\delta}(1+x^2)^{-\delta} $（其中 $ \delta \in [1/2, 3/4) $）所示。
• 可通过单位分解方法，利用截断函数和局部扩展算子 $ H_1 $、$ H_2 $，建立 $ C_c^\infty(\mathbb{R}^d) $ 是 $ D(H) $ 中稠密子集的核性质。
• 证明依赖于狄利克雷型式的局部性，以及 $ H $-不变性在集合 $ U $ 上成立可推出其在关联局部算子上的 $ H $-不变性，从而实现全局逼近。