[论文解读] Floyd maps to the boundaries of relatively hyperbolic groups

Victor Gerasimov|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 14被引用 10

一句话总结

本文通过使用适当的衰减率 λ < 1 对字度量进行共形缩放，建立了从相对双曲群的Floyd完备化到其Bowditch边界的一个连续、等变的Floyd映射的存在性。关键贡献在于证明了对于此类群，Floyd度量在边界上诱导的拓扑与Bowditch紧化拓扑同胚，从而将Floyd对几何有限克利安群的原始结果推广至相对双曲群。

ABSTRACT

A continuous equivariant map from the Floyd boundary of a relatively hyperbolic group (RHG for short) to its Bowditch boundary is constructed. Such a map is unique unless the group is two-ended. In order to optimize the proof and the usage of the map theorem we propose two new definitions of relative hyperbolicity equivalent to the other known definitions. In our approach some "visibility" conditions in graphs are essential. We introduce a class of "visibility actions" that contains the class of relatively hyperbolic actions. The convergence property still holds for the visibility actions. We describe and make use a rather general construction of "attractor sum" of two actions of a locally compact group.

研究动机与目标

• 将Floyd对几何有限克利安群的边界延拓结果推广至相对双曲群。
• 在相对双曲群的Floyd完备化与Bowditch紧化之间建立拓扑对应关系。
• 引入并利用一类新的“可视性作用”（visibility actions），其为相对双曲作用的推广，并保持收敛性质。
• 定义并分析“吸引子和”（attractor sum）构造，该构造将边界上的动力系统与锥形极限集统一于一个紧致Hausdorff空间中。
• 提出两种新的、等价的相对双曲性定义——“精细双曲”（fine hyperbolic）与“3-正规且2-余紧”（3-proper and 2-cocompact）——以促进几何与动力学视角之间的转换。

提出的方法

• 通过使用缩放函数 f_n = λ^n（其中 0 < λ < 1）在有限生成群 G 上定义Floyd度量 δ_S,λ。
• 证明对于相对于子群族 P 的相对双曲群 G，存在某个 λ，使得恒等映射 G → G 延拓为从Floyd完备化 Fl_λG 到 G 的Bowditch完备化的连续映射。
• 引入“可视性作用”的概念，作为相对双曲作用的推广，其在特定拓扑条件下保持收敛性质。
• 构造两个空间 Λ 与 Ω 的“吸引子和” T = Λ ⊔ Ω，其中 G 在紧致空间 Λ 上作用具有收敛性，且在局部紧空间 Ω 上作用正规且余紧，从而得到一个具有 G-作用收敛性的紧致Hausdorff空间 T。
• 利用吸引子和构造，在统一的拓扑框架下统一Floyd边界与Bowditch边界。
• 通过拓扑与几何的转换技术，建立“精细双曲”（RH_fh）与“3-正规且2-余紧”（RH_32）相对双曲性定义之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于相对双曲群，Floyd映射是否能从Floyd完备化连续延拓到Bowditch边界？
• RQ2 在两个动力系统空间的吸引子和构造下，群作用的收敛性质是否能够保持？
• RQ3 “精细双曲”与“3-正规且2-余紧”相对双曲性定义是否等价？若等价，其条件为何？
• RQ4 每个有限生成群在完全不连通紧致空间上的收敛作用是否都可表示为2-余紧作用的逆极限？
• RQ5 群的Freudenthal完备化是否为在完全不连通空间上收敛作用范畴中的初始对象？

主要发现

• 对于任意关于子群族 P 的相对双曲群 G，存在 λ ∈ (0,1)，使得恒等映射 G → G 延拓为从Floyd完备化 Fl_λG 到 G 的Bowditch完备化的连续、等变映射。
• 在延拓映射下，Floyd边界 ∂_fG 与Bowditch边界 ∂_BowditchG 同胚，从而建立了拓扑对应关系。
• 在 G 在 Ω 上作用正规且余紧、在紧致空间 Λ 上作用具有收敛性时，吸引子和构造 T = Λ ⊔ Ω 产生一个紧致Hausdorff空间，其上群作用具有收敛性质。
• 每个有限生成群在完全不连通紧致空间上的收敛作用都是几何的，且此类作用可表示为2-余紧作用的逆极限。
• 有限生成群 G 在其Freudenthal完备化 FrG 上的作用是几何的，且对应于2-余紧作用的逆极限，FrG 是在完全不连通空间上收敛作用范畴中的初始对象。
• 通过拓扑与动力学的转换，建立了“精细双曲”与“3-正规且2-余紧”相对双曲性定义之间的等价性，尽管直接证明仍具非平凡性。