[论文解读] FLRW solutions in $f(Q)$ theory: the effect of using different connections

N. Dimakis, A. Paliathanasis+2 more|arXiv (Cornell University)|May 10, 2022

Cosmology and Gravitation Theories被引用 4

一句话总结

本文研究了在 $f(Q)$ 引力中，使用四种不同的对称、平坦的联络来描述弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克（FLRW）宇宙学。通过将非度量性标量 $Q$ 视为时间变量，作者推导出任意 $f(Q)$ 的一般解，适用于完美流体物质，并获得了幂律 $f(Q)$ 的新颖真空解，展示了广义相对论之外的动力学行为，特别是在 $Q \neq$ 常数时。

ABSTRACT

We study a Friedmann-Lema\^ıtre-Robertson-Walker (FLRW) space-time in the theory of $f(Q)$-gravity, where $Q$ denotes the non-metricity scalar. It has been previously shown in the literature, that there exist four distinct families of connections, which are compatible with the isometries of the FLRW metric; three for the spatially flat case and one when the spatial curvature is present. In the spatially flat case, one connection is dynamically irrelevant and yields the dynamics of the coincident gauge in the Cartesian coordinates. For this, we obtain the general solution of an arbitrary $f(Q)$ theory with a perfect fluid matter content, and present various examples for specific choices of the $f(Q)$ function. We proceed by studying the effect of the rest of the connections, which are dynamical and affect the equations of the motion. We concentrate in scenarios that depart from the $Q=$const. case, which just reproduces General Relativity with a cosmological constant, and derive novel vacuum solutions for a power-law $f(Q)$ function.

研究动机与目标

• 分析不同对称、平坦的联络对 $f(Q)$ 引力中 FLRW 宇宙学的影响，特别是与空间曲率和等距性相容的情况。
• 通过系统研究所有四种联络（三种用于平坦空间，一种用于弯曲空间）来解决规范选择的模糊性，而非事先假设共形规范。
• 为任意 $f(Q)$ 理论推导出完美流体物质的一般解析解，特别是通过使用 $Q$ 作为时间变量来规避坐标依赖性带来的复杂性。
• 通过聚焦于 $Q$ 不为常数的情况，探索非广义相对论的动力学，从而避免与带有宇宙学常数的广义相对论在动力学上等价。
• 提出幂律 $f(Q)$ 函数的新型真空解，包括非平坦情况下的米涅类解，并将复杂方程简化为可积形式。

提出的方法

• 识别并分类所有与 FLRW 度量等距性相容的对称、平坦联络，区分空间平坦与弯曲的情况。
• 使用非度量性标量 $Q$ 作为独立的时间变量，对动力学方程进行重参数化，简化系统并实现解析积分。
• 推导每类联络下 $f(Q)$ 引力的场方程，表明 $Q$ 如何依赖于联络的函数形式和度量。
• 在平坦情况下，对任意 $f(Q)$ 与完美流体求解方程，识别出一种退化解，其中某一联络的函数 $\gamma(t)$ 不影响动力学。
• 对于两种非退化联络，为幂律 $f(Q) = \alpha Q^n$ 推导出一般真空解，获得精确或部分约化的解。
• 将第三类联络的动力系统约化为阿贝尔型微分方程，尽管不可积，但仍可进行进一步分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 不同与 FLRW 等距性相容的对称、平坦联络如何影响 $f(Q)$ 引力中的宇宙学动力学？
• RQ2 非度量性标量 $Q$ 作为时间变量，在简化和求解任意 $f(Q)$ 理论场方程中的作用是什么？
• RQ3 在 $f(Q)$ 引力中，$Q$ 不为常数的解是否能产生与带有宇宙学常数的广义相对论不同的动力学？
• RQ4 对于幂律 $f(Q)$ 的真空 $f(Q)$ 模型，特别是非平坦 FLRW 情况下，其精确或部分约化解是什么？
• RQ5 在共形规范中，联络函数 $\gamma(t)$ 的任意性如何影响非度量理论中粒子运动和物理可观测量？

主要发现

• 在空间平坦情况下，一种联络产生退化解，其中联络中的函数 $\gamma(t)$ 不影响引力方程，对应于笛卡尔坐标系下的共形规范。
• 对于两种动态活跃的平坦联络，作者为幂律 $f(Q) = \alpha Q^n$ 推导出一般真空解，当 $Q \neq$ 常数时显示出非广义相对论的动力学。
• 在非平坦情况下，发现一种特殊解，其类似于米涅宇宙（黎曼平坦），表达式为 $Q = \frac{24k\mu^{2}}{(1-2\mu)^{2}a_{0}^{2}}e^{\mp\frac{2\sqrt{-k}t}{2\mu-1}}$，适用于 $\mu \neq 1$。
• 第三类平坦联络的解约化为求解第二类阿贝尔方程，表明存在非平凡但可分析的动力学。
• 即使在 $\mu=1$ 极限（广义相对论极限）下，非度量性标量 $Q$ 仍保持非恒定，除非 $\gamma(t) = \mp\sqrt{-k}$，表明广义相对论并非以通常方式被恢复。
• 使用 $Q$ 作为时间变量成功生成了超越广义相对论范畴的解，证实 $f(Q)$ 引力能够支持超越标准模型的丰富宇宙学动力学。