[论文解读] Fluctuation bounds for continuous time branching processes and nonparametric change point detection in growing networks

Sayan Banerjee, Shankar Bhamidi+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2018

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 38被引用 4

一句话总结

本文利用连续时间分支过程（CTBP）推导出在增长网络模型中网络泛函的定量误差界，实现非参数变化点检测。在附件机制发生突变的情况下，建立了度分布的收敛速率，即使在‘快速大爆炸’情形（即变化点发生在早期，$ n^\gamma $，$ 0<\gamma<1 $）下也成立。

ABSTRACT

Motivated by applications, both for modeling real world systems as well as in the study of probabilistic systems such as recursive trees, the last few years have seen an explosion in models for dynamically evolving networks. The aim of this paper is two fold: (a) develop mathematical techniques based on continuous time branching processes (CTBP) to derive quantitative error bounds for functionals of a major class of these models about their large network limits; (b) develop general theory to understand the role of abrupt changes in the evolution dynamics of these models using which one can develop non-parametric change point detection estimators. In the context of the second aim, for fixed final network size $n$ and a change point $ au(n) < n$, we consider models of growing networks which evolve via new vertices attaching to the pre-existing network according to one attachment function $f$ till the system grows to size $ au(n)$ when new vertices switch their behavior to a different function $g$ till the system reaches size $n$. With general non-explosivity assumptions on the attachment functions $f,g$, we consider both the standard model where $ au(n) = \Theta(n)$ as well as the \emph{quick big bang model} when $ au(n) = n^\gamma$ for some $0<\gamma <1$. Proofs rely on a careful analysis of an associated \emph{inhomogeneous} continuous time branching process. Techniques developed in the paper are robust enough to understand the behavior of these models for any sequence of change points $ au(n) o\infty$. This paper derives rates of convergence for functionals such as the degree distribution; the same proof techniques should enable one to analyze more complicated functionals such as the associated fringe distributions.

研究动机与目标

• 基于连续时间分支过程（CTBP）建立严格的数学技术，用于分析大网络极限下增长网络模型的泛函。
• 解决在不假设附件机制参数形式的前提下，检测网络演化动态突变的挑战。
• 分析附件规则从函数 $ f $ 切换到 $ g $ 的网络模型，且切换点为 $ \tau(n) $，在一般非爆炸性假设下进行。
• 将理论理解扩展至‘快速大爆炸’模型，其中切换点满足 $ \tau(n) = n^\gamma $，$ 0 < \gamma < 1 $，该情形挑战了标准渐近框架。
• 提供一个适用于任意发散序列切换点 $ \tau(n) \to \infty $ 的稳健框架，支持对复杂泛函（如边缘分布）的分析。

提出的方法

• 通过非时齐连续时间分支过程（CTBP）建模网络增长，其中边的形成与顶点的附加遵循时变规则。
• 利用CTBP技术，推导关键网络泛函（如度分布）的集中性与波动界，适用于一般附件函数 $ f $ 和 $ g $。
• 将系统分析分为两个阶段：在 $ \tau(n) $ 之前，附件遵循 $ f $；在之后，遵循 $ g $，在切换点处存在动力学的不连续性。
• 通过控制CTBP围绕其均值的波动，利用矩方法与鞅方法，建立泛函的收敛速率。
• 将结果推广至‘快速大爆炸’模型，其中 $ \tau(n) = n^\gamma $，表明即使在早期切换时，收敛速率仍可量化。
• 将该框架应用于推导度分布的界，并建议扩展至更复杂的泛函（如边缘分布）。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用连续时间分支过程推导出在增长网络模型中网络泛函的定量误差界？
• RQ2 当附件机制在时间 $ \tau(n) $ 处发生突变时，网络泛函（如度分布）的收敛速率是什么？
• RQ3 在‘快速大爆炸’情形下，即切换点位于早期 $ \tau(n) = n^\gamma $，$ 0 < \gamma < 1 $ 时，理论界的行为如何？
• RQ4 所提出的框架是否能在不假设附件函数参数形式的前提下检测网络动态的变化？
• RQ5 所推导的技术对任意发散序列的切换点 $ \tau(n) \to \infty $ 具有多大的鲁棒性？

主要发现

• 本文建立了在附件规则发生突变的生长网络中，度分布的显式收敛速率。
• 在附件函数 $ f $ 和 $ g $ 的一般非爆炸性假设下推导出收敛速率，确保适用于广泛模型类别。
• 即使在‘快速大爆炸’情形下 $ \tau(n) = n^\gamma $，$ 0 < \gamma < 1 $，该框架依然有效，表明对早期切换点具有鲁棒性。
• 使用非时齐连续时间分支过程可实现对泛函波动的精确界，构成非参数变化点检测的基础。
• 相同的证明技术可扩展至更复杂的泛函（如边缘分布），表明其具有广泛的理论适用性。
• 结果为开发网络演化中变化点的非参数估计器提供了基础，而无需假设已知的参数模型。