[论文解读] Fluctuation identities for omega-killed Markov additive processes and dividend problem

Irmina Czarna, Adam Kaszubowski+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2018

Probability and Risk Models参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文引入了广义尺度矩阵，记为 $\mathcal{W}^{(\omega)}$ 和 $\mathcal{Z}^{(\omega)}$，用于谱负的马氏切换过程（MAPs）在双变量强度 $\omega(x,i)$ 下的指数消亡，其中强度依赖于状态和环境。本文建立了 $\omega$-消亡 MAP 的波动恒等式与再生方程，将经典尺度矩阵理论推广至马氏调制的 Lévy 过程，并可应用于股息问题与风险理论中的 Omega 模型。

ABSTRACT

In this paper we solve the exit problems for an one-sided Markov additive process (MAP) which is exponentially killed with a bivariate killing intensity $ω(\cdot,\cdot)$ dependent on the present level of the process and the present state of the environment. Moreover, we analyze respective resolvents. All identities are given in terms of new generalizations of classical scale matrices for the MAP. We also remark on a number of applications of the obtained identities to (controlled) insurance risk processes. In particular, we show that our results can be applied to the so-called Omega model, where bankruptcy occurs at rate $ω(\cdot,\cdot)$ when the surplus process becomes negative. Finally, we consider the Markov modulated Brownian motion (MMBM) and present the results for the particular choice of piecewise intensity function $ω(\cdot,\cdot)$.

研究动机与目标

• 将经典尺度矩阵理论推广至在 $\omega$-消亡下依赖于状态与环境的马氏切换过程（MAPs）
• 推导 $\omega$-消亡 MAP 的波动恒等式与再生方程，将 Lévy 过程的结果扩展至马氏调制框架
• 为求解受控风险过程中最优股息问题与 ruin 相关的退出问题提供理论基础
• 建立新的 $\omega$-尺度矩阵与 Omega 模型之间的联系，其中当盈余为负时，破产以速率 $\omega(x,i)$ 发生
• 分析具有分段常数 $\omega(x,i)$ 的马氏调制几何 Brownian 运动（MMBM）情形，提供显式解与数值示例

提出的方法

• 将 $\omega$-消亡 MAP 定义为谱负的 MAP，其指数消亡强度 $\omega(x,i)$ 依赖于水平 $x$ 与环境状态 $i$
• 引入 $\omega$-尺度矩阵 $\mathcal{W}^{(\omega)}$ 与 $\mathcal{Z}^{(\omega)}$，作为涉及消亡强度与经典尺度矩阵的积分方程的解
• 利用 $\omega$-消亡下的潜在测度与再生算子，推导从区间 $[d,c]$ 退出问题的波动恒等式
• 建立边界条件与极限行为（当 $d \to -\infty$，$c \to \infty$），以推导全局恒等式与矩阵逆
• 使用控制收敛定理与矩阵求逆技术，推导 $\mathcal{W}^{(\omega)}$ 与 $\mathcal{Z}^{(\omega)}$ 的极限形式
• 通过指定分段常数 $\omega(x,i)$，将该框架应用于 Omega 模型与 MMBM，推导出 ruin 与股息函数的显式表达式

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 Lévy 过程的经典波动恒等式推广至依赖于状态与环境的消亡下的马氏切换过程？
• RQ2 广义 $\omega$-尺度矩阵 $\mathcal{W}^{(\omega)}$ 与 $\mathcal{Z}^{(\omega)}$ 的结构特性及其满足的积分方程为何？
• RQ3 $\omega$-尺度矩阵如何与 $\omega$-消亡 MAP 的潜在测度与再生算子相关联？
• RQ4 该新框架能否用于求解 Omega 模型中的最优股息问题与 ruin 问题？
• RQ5 在具有分段常数 $\omega(x,i)$ 的马氏调制几何 Brownian 运动情形下，$\omega$-尺度矩阵的显式形式与数值行为如何？

主要发现

• $\omega$-尺度矩阵 $\mathcal{W}^{(\omega)}$ 与 $\mathcal{Z}^{(\omega)}$ 定义为涉及消亡强度 $\omega(x,i)$ 与经典尺度矩阵的积分方程的解
• $\omega$-消亡 MAP 的波动恒等式以 $\mathcal{W}^{(\omega)}$ 与 $\mathcal{Z}^{(\omega)}$ 表示，推广了 Lévy 过程的经典结果
• 当 $\omega$ 为常数时，$\omega$-尺度矩阵退化为经典尺度矩阵，与已有文献保持一致
• 证明了当 $d \to -\infty$ 时，$\mathcal{W}^{(\omega)}(x,d)e^{-\mathbf{R}^{\beta}d}$ 的极限为可逆矩阵，从而可构造 $\mathcal{H}^{(\omega)}(x)$
• 利用 $\omega$-尺度矩阵推导出 Omega 模型中直到 ruin 前支付股息的值函数，获得闭式解
• 对于具有分段常数 $\omega(x,i)$ 的马氏调制几何 Brownian 运动，本文提供了 $\omega$-尺度矩阵及其相关 ruin 概率的显式表达式与数值计算