[论文解读] Fluctuation theory for level-dependent Lévy risk processes

Irmina Czarna, José Luis Pérez+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2017

Probability and Risk Models被引用 5

一句话总结

本文为水平依赖的 Lévy 风险过程发展了波动理论，其中漂移依赖于过程的当前水平。文章引入了多折射和一般水平依赖 Lévy 过程的阶跃函数，表明其导数满足伏尔泰拉积分方程，并通过这些函数显式表达 ruin 概率和首中射问题。

ABSTRACT

A level-dependent Lévy process solves the stochastic differential equation $dU(t) = dX(t)-ϕ(U(t)) dt$, where $X$ is a spectrally negative Lévy process. A special case is a multi-refracted Lévy process with $ϕ_k(x)=\sum_{j=1}^kδ_j1_{\{x\geq b_j\}}$. A general rate function $ϕ$ that is non-decreasing and continuously differentiable is also considered. We discuss solutions of the above stochastic differential equation and investigate the so-called scale functions, which are counterparts of the scale functions from the theory of Lévy processes. We show how fluctuation identities for $U$ can be expressed via these scale functions. We demonstrate that the derivatives of the scale functions are solutions of Volterra integral equations.

研究动机与目标

• 将波动理论扩展至具有状态依赖漂移的水平依赖 Lévy 风险过程。
• 证明非减且局部利普希茨连续的 $ \phi $ 下，SDE $ dU(t) = dX(t) - \phi(U(t))\,dt $ 解的存在性与唯一性。
• 为多折射和一般水平依赖情形定义并表征阶跃函数 $ w^{(q)} $、$ z^{(q)} $ 及其导数。
• 通过这些阶跃函数表达关键风险量——如 ruin 概率和首中射分布。
• 证明阶跃函数的导数满足第二类伏尔泰拉积分方程。

提出的方法

• 将水平依赖 Lévy 过程形式化为 SDE $ dU(t) = dX(t) - \phi(U(t))\,dt $ 的解，其中 $ X $ 为谱负过程。
• 对具有分段常数 $ \phi $ 的多折射过程，通过递归积分方程定义阶跃函数 $ w_k^{(q)} $、$ z_k^{(q)} $。
• 利用多折射过程的逼近，证明在非减且局部利普希茨连续 $ \phi $ 下，SDE 解的存在性与唯一性。
• 利用阶跃函数及其导数推导波动恒等式（首中射问题、再生核、ruin 问题）。
• 建立阶跃函数的导数满足第二类伏尔泰拉积分方程。
• 通过拉普拉斯变换与收敛性论证，验证一般 $ \phi $ 情形下的极限，证明所得阶跃函数的连续性与可积性。

实验结果

研究问题

• RQ1 波动理论如何能被扩展至具有水平依赖漂移的 Lévy 风险过程？
• RQ2 多折射 Lévy 过程的阶跃函数是什么，它们如何与 ruin 概率和首中射时间相关联？
• RQ3 阶跃函数的导数行为如何，能否通过积分方程表征？
• RQ4 该理论能否从分段常数漂移函数扩展至一般非减且局部利普希茨连续的漂移函数？
• RQ5 当过程水平趋于无穷时，阶跃函数的极限性质是什么？

主要发现

• 多折射过程中阶跃函数 $ w_k^{(q)} $ 和 $ z_k^{(q)} $ 的导数满足第二类伏尔泰拉积分方程。
• 在多折射情形下，阶跃函数 $ w_k^{(q)}(\infty) $ 显式给出为 $ \frac{1 - \sum_{j=1}^k \delta_j w_{j-1}^{(q)}(b_j)}{\mathbb{E}[X(1)] - \sum_{j=1}^k \delta_j} $。
• 在一般情形下，若 $ \phi $ 为非减且局部利普希茨连续，则阶跃函数 $ w^{(q)} $、$ z^{(q)} $ 可作为逼近多折射过程的极限获得。
• 一般阶跃函数的导数同样满足第二类伏尔泰拉积分方程。
• ruin 概率与首中射分布可显式用阶跃函数 $ w^{(q)} $ 和 $ z^{(q)} $ 表示。
• 阶跃函数导数 $ W^{(q)\prime} $ 的拉普拉斯变换满足 $ \int_0^\infty e^{-sx} W^{(q)\prime}(x)\,dx = \frac{s}{\psi(s) - q} - W^{(q)}(0) $，这对收敛性证明至关重要。