[论文解读] Fluctuations Of Linear Spectral Statistics Of Deformed Wigner Matrices

Sandrine Dallaporta, Maxime Février|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2019

Random Matrices and Applications参考文献 52被引用 8

一句话总结

本文建立了变形Wigner矩阵（即被确定性对角矩阵扰动的Wigner矩阵）的线性谱统计量的高斯波动——证明其收敛于具有显式偏倚与方差项的高斯分布，这些项通过自由概率与格林函数迹分析推导得出。研究将波动结果推广至非高斯分布的矩阵元素，并证明了独立GUE矩阵与确定性矩阵之间渐近无穷小自由的性质。

ABSTRACT

We investigate the fluctuations of linear spectral statistics of a Wigner matrix $W\_N$ deformed by a deterministic diagonal perturbation $D\_N$, around a deterministic equivalent which can be expressed in terms of the free convolution between a semicircular distribution and the empirical spectral measure of $D\_N$. We obtain Gaussian fluctuations for test functions in $\mathcal{C}\_c^7(\mathbb{R})$ ($\mathcal{C}\_c^2(\mathbb{R})$ for fluctuations around the mean). Furthermore, we provide as a tool a general method inspired from Shcherbina and Johansson to extend the convergence of the bias if there is a bound on the bias of the trace of the resolvent of a random matrix. Finally, we state and prove an asymptotic infinitesimal freeness result for independent GUE matrices together with a family of deterministic matrices, generalizing the main result from [Shl18].

研究动机与目标

• 分析由确定性对角矩阵扰动的Wigner矩阵的线性谱统计量的波动。
• 利用自由卷积与格林函数迹技术，推导这些波动的偏倚与方差的显式表达式。
• 将波动结果从高斯分布元素推广至具有有限四阶矩的一般i.i.d.元素。
• 建立独立GUE矩阵与确定性矩阵之间渐近无穷小自由的结果。
• 提供一种通用方法，用于在迹波动有界假设下扩展格林函数迹偏倚的收敛性。

提出的方法

• 使用Stieltjes变换与格林函数迹分析变形Wigner矩阵的线性谱统计量。
• 应用自由概率工具，特别是自由卷积，表达谱测度的确定性等价物。
• 利用Wick公式与非交叉分拆的组合分析计算GUE矩阵的矩。
• 通过格林函数迹的渐近展开推导偏倚与方差项，利用其波动的有界性。
• 使用Kreweras补全映射与循环置换，将自由概率中的组合结构与矩阵迹关联。
• 通过比较矩阵元组的$*$-分布与半圆分布与确定性谱测度的自由卷积，建立渐近无穷小自由性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有通用i.i.d.元素的变形Wigner矩阵，其线性谱统计量的极限分布是什么？
• RQ2 这些统计量的偏倚与方差如何依赖于矩阵元素的四阶矩与测试函数的正则性？
• RQ3 在迹波动有界假设下，格林函数迹偏倚的收敛性是否可被推广？
• RQ4 在何种条件下，独立GUE矩阵与确定性矩阵会成为渐近无穷小自由的？
• RQ5 变形Wigner矩阵谱测度的确定性等价物的精确形式是什么？

主要发现

• 对于$\mathcal{C}_{c}^{7}(\mathbb{R})$类测试函数，变形Wigner矩阵的线性谱统计量在$N^{-1}$尺度上呈现高斯波动，且具有显式偏倚与方差。
• 极限方差$V_0(\varphi)$通过半圆律的Stieltjes变换表达，包含依赖于矩阵元素四阶矩的项。
• 偏倚项$b_0(\varphi)$依赖于Stieltjes变换的导数，并结合了元素的方差谱与超额峰度。
• 本文提供了一种通用方法，在迹波动有界假设下扩展格林函数迹偏倚的收敛性。
• 独立GUE矩阵与一簇确定性矩阵之间存在渐近无穷小自由性，其联合$*$-分布以$O(N^{-2})$误差收敛于半圆与确定性谱测度的自由卷积。
• 本结果推广了Shcherbina的工作[Shl18]，将无穷小自由性从高斯元素推广至非高斯元素，并适用于更一般的确定性矩阵族。