[论文解读] Fluctuations of stable processes and exponential functionals of hypergeometric Levy processes

Alexey Kuznetsov, Juan Carlos Pardo|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2010

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 17被引用 9

一句话总结

本文推导出超几何 Lévy 过程的指数函数的 Mellin 变换和级数展开的显式公式，建立了与 Lamperti 稳态过程的联系。本文提供了对稳定过程上确界分布已知结果的全新、简化的证明，并推导出高维径向稳定过程的进入时态和最后通过时间的新结果。

ABSTRACT

We study the distribution and various properties of exponential functionals of hypergeometric Levy processes. We derive an explicit formula for the Mellin transform of the exponential functional and give both convergent and asymptotic series expansions of its probability density function. As applications we present a new proof of some of the results on the density of the supremum of a stable process, which were recently obtained by Kuznetsov "On extrema of stable processes" (2010) and Hubalek and Kuznetsov "A convergent series representation for the density of the supremum of a stable process" (2010). We also derive some new results related to (i) the entrance law of the stable process conditioned to stay positive, (ii) the entrance law of the excursion measure of the stable process reflected at its past infimum and (iii) the entrance law and the last passage time of the radial part of n-dimensional symmetric stable process.

研究动机与目标

• 推导超几何 Lévy 过程的指数函数的 Mellin 变换和密度的级数表示。
• 通过 Lamperti 变换建立超几何过程与 Lamperti 稳态过程之间的联系。
• 为近期关于稳定过程上确界分布的结果提供一种新的、简化的证明。
• 推导稳定过程的桥接测度的进入律的新结果，该过程在历史下确界处被反射。
• 分析 n 维对称稳定过程的径向部分的最后通过时间的分布性质。

提出的方法

• 定义一个拉普拉斯指数 ψ(z)，其涉及参数属于允许集合 A 的伽马函数之比，从而确立其为超几何 Lévy 过程的指数。
• 利用 Lamperti 变换将超几何过程与 Lamperti 稳态过程联系起来，实现指数函数结果的转移。
• 通过涉及双伽马函数和反射公式的积分恒等式，推导出指数函数 I 的 Mellin 变换。
• 应用逆 Mellin 变换技术，获得 I 的密度的收敛与渐近级数展开。
• 利用稳定过程的标度性质和自相似性，将问题简化为单位尺度情形，如 U₂。
• 通过计算 Mellin 变换的留数，推导出最后通过时间与进入律的级数表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 超几何 Lévy 过程的指数函数的显式 Mellin 变换是什么？
• RQ2 如何推导出指数函数密度的收敛与渐近级数展开？
• RQ3 能否利用超几何过程与 Lamperti 稳态过程之间的联系，更直接地重新推导出关于稳定过程上确界已知结果？
• RQ4 在历史下确界处被反射的稳定过程的桥接测度的进入律是什么？
• RQ5 n 维对称稳定过程的径向部分的最后通过时间的分布性质是什么？

主要发现

• 指数函数 I 的 Mellin 变换由伽马函数之比给出：E[I^{s-1}] = Γ(s)Γ((d−αs)/2)/Γ((d−α)/2)Γ(1−α(1−s)/2)。
• 指数函数的密度既具有收敛级数展开，也具有渐近级数展开，这些展开由逆 Mellin 变换和留数计算推导得出。
• 对于 d 维径向稳定过程的最后通过时间 U₂，其密度表示为包含 Γ(α(1+n)/2) 和 Γ((d+αn)/2) 的级数（当 α<1 时），以及 t^{-2m/α} 的幂级数形式（当 α>1 时）。
• 通过 Lamperti 变换和相关 Lévy 过程的指数函数，推导出被反射的稳定过程的桥接测度的进入律。
• 最后通过时间 U₂ 具有标度性质 b^α U_r =_d U_{br}，从而可将分析简化至单位尺度。
• 最后通过时间 U₂ 的 Mellin 变换在 s = -n 和 s = (d+2m)/α 处具有简单极点，其留数可通过伽马函数恒等式计算。