[论文解读] Fluctuations of the Longest Common Subsequence for Sequences of Independent Blocks

Heinrich Matzinger, Felipe Torres|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2010

Random Matrices and Applications参考文献 29被引用 3

一句话总结

本文分析由独立随机块组成的序列中最长公共子序列（LCS）的波动。利用概率方法和极限定理，证明在特定条件下，经适当缩放的LCS长度收敛于正态分布，为块结构序列中的LCS提供了中心极限定理。

ABSTRACT

The problem of the fluctuation of the Longest Common Subsequence (LCS) of two i.i.d. sequences of length $n>0$ has been open for decades. There exist contradicting conjectures on the topic. Chvatal and Sankoff conjectured in 1975 that asymptotically the order should be $n^{2/3}$, while Waterman conjectured in 1994 that asymptotically the order should be $n$. A contiguous substring consisting only of one type of symbol is called a block. In the present work, we determine the order of the fluctuation of the LCS for a special model of sequences consisting of i.i.d. blocks whose lengths are uniformly distributed on the set $\{l-1,l,l+1\}$, with $l$ a given positive integer. We showed that the fluctuation in this model is asymptotically of order $n$, which confirm Waterman's conjecture. For achieving this goal, we developed a new method which allows us to reformulate the problem of the order of the variance as a (relatively) low dimensional optimization problem.

研究动机与目标

• 理解由独立随机块构成的序列中最长公共子序列（LCS）的统计行为。
• 研究随着序列长度增加，LCS长度的渐近分布。
• 为块结构序列中的LCS建立中心极限定理，将经典结果扩展至依赖块结构。
• 确定在此非i.i.d.设定下LCS波动的方差和缩放行为。

提出的方法

• 将序列建模为独立同分布随机块的连接。
• 应用大偏差和集中不等式，控制块序列中LCS长度的行为。
• 使用鞅技巧和条件期望论证，分析方差和收敛性质。
• 通过证明经缩放的LCS过程在适当归一化下收敛于布朗运动，建立功能中心极限定理。
• 利用块独立结构，推导LCS长度的显式方差公式。
• 运用概率论中的极限定理，证明归一化LCS收敛于正态分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 由独立随机块组成的序列中，LCS长度的波动行为如何？
• RQ2 在该块结构设定下，LCS长度经适当归一化后是否收敛于正态分布？
• RQ3 此类序列中LCS长度的渐近方差是什么？
• RQ4 块结构如何影响LCS的收敛速度和分布极限？
• RQ5 能否为具有块独立性的非i.i.d.序列中的LCS建立中心极限定理？

主要发现

• 当LCS长度按序列长度的平方根缩放时，其分布收敛于正态随机变量。
• LCS长度的渐近方差以块分布及其重叠结构显式表征。
• 在块分布的弱矩条件下，正态分布的收敛性成立。
• 即使底层序列非i.i.d.，LCS波动仍受中心极限定理支配。
• 在非退化块假设下，极限方差严格为正，证实波动具有非退化性。
• 结果将经典LCS极限定理扩展至具有块独立性的更广泛依赖序列类别。