[论文解读] Fluctuations of the Longest Common Subsequence in the Asymmetric Case of 2- and 3-Letter Alphabets

Federico Bonetto, Heinrich Matzinger|ArXiv.org|Oct 18, 2004

Random Matrices and Applications参考文献 21被引用 12

一句话总结

本文研究了在两个独立同分布序列之间，一个来自三字母表 {0,1,a}，另一个来自二字母表 {0,1} 的最长公共子序列（LCS）长度的渐近方差。利用概率论与大偏差技术，作者证明了在此非对称情形下，LCS 长度的标准差为 √n 阶，证实了 Waterman 在此特定设定下的猜想，并表明 √n 的缩放行为可能在类似模型中普遍存在。

ABSTRACT

We investigate the asymptotic standard deviation of the Longest Common Subsequence (LCS) of two independent i.i.d. sequences of length n. The first sequence is drawn from a three letter alphabet {0,1,a}, whilst the second sequence is binary. The main result of this article is that in this asymmetric case, the standard deviation of the length of the LCS is of order square root of n. This confirms Waterman's conjecture for this special case. Our result seems to indicate that in many other situations the order of the standard deviation is also square root of n.

研究动机与目标

• 确定在非对称字母表下，两个独立同分布序列之间 LCS 长度标准差的渐近阶，其中一个来自 {0,1,a}，另一个来自 {0,1}。
• 验证 Waterman 的猜想，即在此非对称设定下，LCS 长度的方差为 n 阶。
• 研究 √n 阶的标准差缩放是否为具有有限字母表的非对称序列模型中的普遍特征。
• 分析罕见模式与低匹配得分基序如何影响独立同分布序列中 LCS 的波动。

提出的方法

• 将 LCS 问题建模为使用身份得分且无缺口惩罚的序列比对，从而将其简化为寻找最长公共子序列。
• 将序列分解为块，并应用大偏差界以控制子序列匹配中罕见事件的概率。
• 应用矩生成函数技术与指数界来估计子序列长度偏离的尾部概率。
• 使用 Stirling 公式来估计在索引子集上计数匹配子序列时出现的二项式系数。
• 利用序列的独立性与同分布性假设，推导出表示子序列匹配的独立同分布随机变量的矩生成函数。
• 通过指数尾部估计与子和分解，界定罕见事件（如相同符号的长串或高匹配得分）的概率。

实验结果

研究问题

• RQ1 当一个序列来自三字母表 {0,1,a}，另一个来自二字母表 {0,1} 时，LCS 长度标准差的渐近阶是什么？
• RQ2 在该非对称模型中，LCS 长度的方差是否如 Waterman 所猜想的那样按 √n 缩放？
• RQ3 具有低期望匹配得分的罕见模式如何影响独立同分布序列中 LCS 长度的波动？
• RQ4 大偏差技术能否用于界定 LCS 长度显著偏离其均值的概率？
• RQ5 在具有有限字母表的不同非对称序列模型中，标准差的 √n 缩放是否为稳健特征？

主要发现

• 在其中一个序列来自 {0,1,a}，另一个来自 {0,1} 的非对称情形下，LCS 长度的标准差为 √n 阶。
• 证明了 LCS 长度的方差为 n 阶，证实了 Waterman 在此特定模型中的猜想。
• 当 ν < 0.5 时，LCS 长度超过 νn 的概率随 n 指数衰减，其上界为 e^{c(ν−0.5)²n}，其中 c 为某常数。
• 对于任意 ε > 0，当序列长度为 2l(1−δ(ε)) 时，LCS 长度超过 l(1−ε) 的概率被一个包含 ε 与 δ(ε) 的指数项所界定。
• 该方法成功控制了如二进制序列中相同符号长串等罕见事件，表明其对 LCS 波动的贡献在某一阈值之后可忽略不计。
• 分析表明，该非对称设定下波动的 √n 缩放具有鲁棒性，提示其可能为类似模型中的普遍特征。