[论文解读] Fluid dynamic limit of Boltzmann equation for granular hard--spheres in a nearly elastic regime

Ricardo J. Alonso, Bertrand Lods+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2020

Gas Dynamics and Kinetic Theory参考文献 42被引用 5

一句话总结

本文从近乎弹性 regime 下的非弹性硬球玻尔兹曼方程出发，严格推导出不可压缩的纳维-斯托克斯-傅里叶系统，其自洽的力项来源于动力学方程。通过引入自相似标度以处理自由冷却行为，并采用基于克努森数的流体动力学极限，作者建立了指数稳定性并证明了解收敛至仅依赖于宏观变量的流体动力学极限，这是首次在物理维度 d ≥ 2 下对颗粒气体实现此类推导。

ABSTRACT

In this paper, we provide the first rigorous derivation of hydrodynamic equations from the Boltzmann equation for inelastic hard spheres with small inelasticity. The hydrodynamic system that we obtain is an incompressible Navier-Stokes-Fourier system with self-consistent forcing terms and is thus the first hydrodynamic system that properly describes rapid granular flows. To do that, we write our Boltzmann equation in nondimensional form introducing the dimensionless Knudsen number which is intended to tend to 0. The difficulties are then manyfold, the first one coming from the fact that the original Boltzmann equation is free-cooling and thus requires a self-similar change of variables to work with an equation that has an homogeneous steady state. The latter is not explicit and is heavy-tailed, which is a major obstacle to adapt energy estimates and spectral analysis. One of the main challenges here is to understand the relation between the restitution coefficient (which quantifies the loss of energy at the microscopic level) and the Knudsen number. This is done identifying the correct nearly elastic regime to capture nontrivial hydrodynamic behavior. We are then able to prove exponential stability uniformly with respect to the Knudsen number of the solution of our rescaled Boltzmann equation in a close to equilibrium regime. Finally, we prove that our solution to the Boltzmann equation converges in some very specific weak sense towards some hydrodynamic solution which depends on time and space variables only through macroscopic quantities. Such macroscopic quantities are solutions to a suitable modification of the incompressible Navier-Stokes-Fourier system which appears to be new in this context.

研究动机与目标

• 从接近弹性的颗粒硬球的非弹性玻尔兹曼方程中推导出流体动力学方程。
• 通过引入自相似标度，将颗粒气体固有的自由冷却行为转化为均匀稳态，以应对该行为带来的挑战。
• 在接近弹性 regime 下建立克努森数趋于零的流体动力学极限，以捕捉非平凡的宏观动力学行为。
• 证明在克努森数上一致的、接近平衡态的重标度玻尔兹曼方程解的指数稳定性。
• 将极限系统识别为带有自洽力项的修正不可压缩纳维-斯托克斯-傅里叶系统，适用于 d ≥ 2 维。

提出的方法

• 通过无量纲克努森数对非弹性玻尔兹曼方程进行重标度，并在流体动力学极限中令其趋于零。
• 应用自相似变量变换，即使在重尾特性下，也将自由冷却的均匀冷却态转化为稳态。
• 在加权巴拿赫空间中使用谱分析与能量估计，控制弱非弹性 regime 下的线性碰撞算子。
• 采用非线性迭代方法控制平衡态附近的扰动，估计流体动力学分量及其正交补空间。
• 通过涉及速度与空间变量的函数空间中的弱-* 极限，建立解的紧致性与收敛性。
• 将极限识别为满足带有从动力学层次推导出的力项的修正不可压缩纳维-斯托克斯-傅里叶系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在近乎弹性 regime 下，从颗粒硬球的非弹性玻尔兹曼方程中严格推导出流体动力学极限？
• RQ2 如何通过自相似标度将颗粒气体的自由冷却行为与流体动力学极限相协调？
• RQ3 正确的标度 regime 是什么——特别是恢复系数与克努森数之间的关系——能产生非平凡的流体动力学行为？
• RQ4 极限流体动力学系统的结构是什么？它与经典纳维-斯托克斯-傅里叶系统有何不同？
• RQ5 在接近平衡态的 regime 下，重标度玻尔兹曼方程的解是否在克努森数上一致地具有指数稳定性？

主要发现

• 在近乎弹性 regime 下，颗粒硬球的非弹性玻尔兹曼方程的流体动力学极限，产生一个带有自洽力项的不可压缩纳维-斯托克斯-傅里叶系统。
• 该极限系统在此背景下为新结果，且能正确描述与动力学表述一致的快速颗粒流。
• 在接近平衡态的 regime 下，证明了重标度玻尔兹曼方程解在克努森数上一致的指数稳定性。
• 玻尔兹曼方程的解以弱意义收敛至仅依赖于宏观变量的极限，该极限满足修正的纳维-斯托克斯-傅里叶系统。
• 通过加权函数空间中的紧致性与极限识别，结合线性化算子的统一预解估计，建立了收敛性。
• 分析确认了在加权 $ L^1 $ 与 $ L^2 $ 空间上存在 $ C_0 $-半群，从而保证了重标度动力学方程的适定性。