[论文解读] Flux Recovery and Superconvergence of Quadratic Immersed Interface Finite Elements

So‐Hsiang Chou, Champike Attanayake|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2015

Lattice Boltzmann Simulation Studies参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文提出了一种针对一维界面问题中具有间断扩散系数的二次浸入有限元方法的通量恢复格式。该方法在端点和界面点处对压力和通量均实现超收敛，当吸收项不存在时实现精确恢复（误差为零），当吸收项存在时通量误差达到三阶精度，数值实验验证了该结论。

ABSTRACT

We introduce a flux recovery scheme for the computed solution of a quadratic immersed finite element method. The recovery is done at nodes and interface point first and by interpolation at the remaining points. We show that the end nodes are superconvergence points for both the primary variable $p$ and its flux $u$. Furthermore, in the case of piecewise constant diffusion coefficient without the absorption term the errors at end nodes and interface point in the approximation of $u$ and $p$ are zero. In the general case, flux error at end nodes and interface point is third order. Numerical results are provided to confirm the theory.

研究动机与目标

• 为二次浸入有限元解构造一种通量恢复格式，实现在不求解额外系统的情况下对通量进行精确逼近。
• 研究在端点和界面点处恢复通量与压力的超收敛性质。
• 为恢复的通量建立离散守恒律（类似于微积分基本定理的离散形式）。
• 通过在不同网格尺寸和界面条件下进行数值实验，验证理论结果。

提出的方法

• 通过在单元区间上对有限元解进行加权积分构造通量恢复格式，利用具有紧支集和特定节点值的测试函数。
• 该格式采用二次浸入有限元形函数，以确保在界面处满足连续性与跳跃条件，从而与弱形式保持一致。
• 通过分部积分和跳跃条件进行误差分析，推导出在关键点处压力和通量的逐点误差估计。
• 当吸收项 q(x) = 0 时，由于底层伽辽金投影的精确性，该方法在端点处能实现通量和压力的精确恢复。
• 推导出一个离散守恒律，表明相邻节点处恢复通量的差值等于源项在单元上的积分。
• 通过两个基准问题进行数值验证，采用不同网格尺寸和多项式阶数，比较节点和界面点处的误差。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为二次浸入有限元构造一种通量恢复格式，使其在端点和界面点处实现超收敛？
• RQ2 当吸收项 q(x) 非零时，端点和界面点处通量误差的收敛阶是多少？
• RQ3 恢复的通量是否满足类似于连续第一基本定理的离散守恒律？
• RQ4 当 q(x) = 0 时，恢复的通量是否能在端点和界面点处精确？若能，其条件是什么？

主要发现

• 当 q(x) = 0 时，端点和界面点处的通量误差恰好为零，表明通量被精确恢复。
• 在一般情形下，当 q(x) ≠ 0 时，端点和界面点处的通量误差为三阶精度，即 O(h³)。
• 当 q(x) = 0 时，压力在端点处具有超收敛性，这些点处的误差恰好为零。
• 数值结果表明，当 q(x) ≠ 0 时，端点和界面点处通量误差的收敛率约为 O(h³)。
• 对于中点节点和界面点处的压力，当 q(x) = 0 时收敛率为 O(h⁴)，当 q(x) ≠ 0 时为 O(h²)，与理论预测一致。
• 离散守恒律成立：uₕ(tᵢ) - uₕ(tᵢ₋₁) = ∫_{Iᵢ} f(x) dx，该式与连续情形的守恒性质一致。