[论文解读] Fock-Lorentz transformations and time-varying speed of light

S. N. Manida|ArXiv.org|May 14, 1999

Advanced Differential Geometry Research参考文献 16被引用 17

一句话总结

本文提出福克-洛伦兹（Fock-Lorentz, FL）变换作为洛伦兹变换的推广，引入了随时间变化的光速 $ c(t) = R/t $，其中 $ R $ 是一个基本的宇宙学长度标度。该模型在保持局部洛伦兹不变性的同时，允许全局福克-洛伦兹不变性，为不破坏洛伦兹对称性的变光速（VSL）宇宙学提供了几何框架，其关键影响体现在弗里德曼-洛巴切夫斯基时空中的红移和类哈勃膨胀行为。

ABSTRACT

The theory of relativity was built up on linear Lorentz transformation. However, in his fundamental work "Theory of Space, Time and Gravitation" V.A.Fock shows that the general form of the transformation between the coordinates in the two inertial frames could be taken to be linear fractional. The implicit form of this transformation contains two constants of different space-time dimensions. They can be reduced to the constant "c" with the dimension of speed ("speed of light"), and to the constant "R" with the dimension of length (an invariant radius of the visible part of the Universe). The geometry of the "light cones" shows that "R" is a fundamental constant, but "c" depends on the time of transformation.

研究动机与目标

• 通过基于线性分式形式推导更一般的变换——福克-洛伦兹（FL）变换——来扩展相对性原理，超越线性洛伦兹变换。
• 研究FL变换的几何与运动学后果，特别是无穷远点的相对性以及新不变长度标度 $ R $ 的出现。
• 表明光速并非恒定，而是随时间变化为 $ c(t) = R/t $，其中 $ R $ 代表可观测宇宙的不变半径。
• 构建在FL变换下保持洛伦兹协变性的能量-动量与速度四维矢量。
• 探讨该框架对宇宙学红移的影响，包括推导类似于哈勃定律的修正红移公式，且哈勃常数减小。

提出的方法

• 将福克-洛伦兹变换显式表示为空间-时间坐标上的线性分式变换，以相对速度 $ \mathbf{u} $ 为参数，其公共分母涉及函数 $ A(u) $、$ A_\mu(u) $ 以及系数 $ a_{\mu\nu}(u) $。
• 通过强制正向与反向变换（仅速度符号相反）之间的对称性来固定比例关系，并将一般形式简化为包含两个基本常数的规范形式：$ c $（光速）和 $ R $（不变半径）。
• 分析在FL变换下光锥与光子、快子和超光速粒子的世界线的几何结构，表明无穷远点不再不变，且所有快子和光子在 $ t=0 $ 时集中于半径为 $ R $ 的球面上。
• 构建在FL变换下协变变换的速度与能量-动量四维矢量，保持洛伦兹协变性。
• 推导位于距离 $ r_2 $ 处的源的红移公式，显示其依赖于速度 $ u $ 和宇宙学距离 $ r_2/R $，极限情况与标准多普勒红移和类哈勃红移一致。
• 将FL变换与弗里德曼-洛巴切夫斯基几何联系起来，表明该模型对应于曲率半径为 $ R $ 的双曲空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 仅凭相对性原理是否能导出超越标准洛伦兹变换的更一般变换，而无需预先假设光速恒定？
• RQ2 福克-洛伦兹变换的几何后果是什么，特别是关于无穷远点的性质以及时空结构？
• RQ3 在此框架中光速如何变化？新常数 $ R $ 的物理意义是什么？
• RQ4 在FL变换下能否一致地定义能量-动量与速度四维矢量，同时保持洛伦兹协变性？
• RQ5 在此模型中宇宙学红移如何产生？其与标准类哈勃红移和多普勒位移相比有何异同？

主要发现

• 光速并非恒定，而是随时间变化为 $ c(t) = R/t $，其中 $ t=0 $ 对应该变换中的奇点，此时所有快子集中于半径为 $ R $ 的球面上。
• 不变长度 $ R $ 作为可观测宇宙半径，作为FL变换中的基本常数出现，取代了标准相对论中的无穷远距离。
• 当距离 $ L \ll R $ 且时间 $ T \ll R/c $ 时，FL变换退化为标准洛伦兹变换，表明在局部极限下保持一致性。
• 对于静止发射源，距离 $ r_2 $ 处的红移公式为 $ z+1 = \sqrt{\frac{R + r_2}{R - r_2}} $，当 $ r_2 \ll R $ 时近似为 $ z \approx r_2/R $，类似于哈勃型红移。
• 该模型中的哈勃常数相比标准模型减小了一半，即 $ H_1 \approx c_1 / R $，意味着宇宙年龄为 $ T = R / c_1 \approx 33 \times 10^9 $ 年，为标准估计值的两倍。
• 在极端相对论极限（$ u \approx -c_1 $）下，红移公式显示在 $ r_2 \approx R $ 附近源的蓝移增强，表明在宇宙边界区域存在强烈的几何效应。