[论文解读] Fold singularities of nonsmooth and slow-fast dynamical systems -- equivalence through regularization

Mike R. Jeffrey|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2015

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文通过正则化过程，建立了非光滑动力系统中两重奇点与慢-快系统中折叠奇点之间的直接等价关系。通过在正则化过程中引入非线性（‘隐藏’）项，作者表明，结构稳定的平滑化可将两重奇点转化为标准的折叠奇点，揭示了非光滑动力学与奇异摄动动力学之间深层的联系。

ABSTRACT

The two-fold singularity has played a significant role in our understanding of uniqueness and stability in piecewise smooth dynamical systems. When a vector field is discontinuous at some hypersurface, it can become tangent to that surface from one side or the other, and tangency from both sides creates a two-fold singularity. The local flow bears a superficial resemblance to so-called {\it folded singularities} in (smooth) slow-fast systems, which arise at the intersection of attractive and repelling branches of slow invariant manifolds, important in the local study of canards and mixed mode oscillations. Here we show that these two singularities are intimately related. When the discontinuity in a piecewise smooth system is regularized (smoothed out) at a two-fold singularity, the resulting system can be mapped onto a folded singularity. The result is not obvious since it requires the presence of nonlinear or `hidden' terms at the discontinuity, which turn out to be necessary for structural stability of the regularization (or smoothing) of the discontinuity, and necessary for mapping to the folded singularity.

研究动机与目标

• 解决关于分段光滑系统中两重奇点结构稳定性的长期悬而未决问题。
• 研究此类系统中不连续性的正则化如何影响其局部动力学与奇点结构。
• 建立非光滑系统中两重奇点与慢-快系统中折叠奇点之间的正式等价关系。
• 证明仅在正则化过程中引入非线性（‘隐藏’）项才能恢复结构稳定性，并实现向折叠奇点的映射。
• 通过坐标变换与正则化，统一理解非光滑与光滑慢-快系统中的类似马兰多（canard）行为。

提出的方法

• 通过用光滑的双曲正切函数（如 $\tanh(x_1/\varepsilon)$）替代不连续切换，对分段光滑系统进行正则化，以逼近不连续性。
• 应用坐标变换，将正则化后的两重奇点系统映射到慢-快系统中折叠奇点的规范型。
• 使用爆破技术分析奇点附近的局部动力学，并解决正则化过程中的非唯一性问题。
• 在正则化中引入对切换参数 $\lambda$ 的非线性依赖（即正则化中的非线性项），以恢复结构稳定性。
• 推导正则化后系统等价于折叠奇点的必要条件，表明线性正则化在结构上失败。
• 显式构造一个坐标变换，将正则化后的两重奇点系统映射到奇异摄动系统中标准的折叠奇点形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过正则化将分段光滑系统中的两重奇点映射为慢-快系统中的折叠奇点？
• RQ2 非线性（‘隐藏’）项在两重奇点正则化过程中起什么作用，以确保结构稳定性？
• RQ3 为何两重奇点的线性正则化无法产生结构稳定的系统？非线性项如何解决此问题？
• RQ4 正则化系统中折叠奇点的存在如何解释两重系统中观察到的复杂动力学，包括类似马兰多的行为？
• RQ5 是否存在一个两重奇点局部动力学的规范型，可统一其在非光滑与慢-快框架下的行为？

主要发现

• 非线性正则化是两重奇点结构稳定性的必要条件；线性正则化会导致非唯一且不稳定的动力学。
• 通过显式坐标变换，正则化后的两重奇点系统可被转化为慢-快系统中折叠奇点的标准形式。
• 仅当在正则化中包含非线性项时，两重奇点与折叠奇点之间的等价性才成立，这些非线性项作为‘隐藏’项对结构稳定性至关重要。
• 爆破方法证实，正则化系统中存在马兰多轨道，验证了其与慢-快动力学的联系。
• 使用双曲正切正则化（如 $\tanh(x_1/\varepsilon)$）且 $\varepsilon = 10^{-5}$ 的仿真结果再现了复杂的振荡吸引子，证实了不同平滑函数下的鲁棒性。
• 系统 (V) 被识别为两重动力学的结构稳定规范型，完整捕捉了在分段光滑与慢-快设定下所有类别的行为。