[论文解读] Fold-Transversal Clifford Gates for Quantum Codes

Nikolas P. Breuckmann, Simon Burton|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 29被引用 11

一句话总结

本文通过利用ZX对偶性，将表面码中的折叠概念推广至CSS码，提出了一种用于量子码的折叠-横跨 Clifford 门。结果表明，仅通过横跨门和量子比特排列即可实现容错的逻辑 Clifford 门，包括四逻辑量子比特上的完整 Clifford 群，且无需时间或量子比特开销，如 [[30,8,3]] Bring 的码所示。

ABSTRACT

We generalize the concept of folding from surface codes to CSS codes by considering certain dualities within them. In particular, this gives a general method to implement logical operations in suitable LDPC quantum codes using transversal gates and qubit permutations only. To demonstrate our approach, we specifically consider a [[30, 8, 3]] hyperbolic quantum code called Bring's code. Further, we show that by restricting the logical subspace of Bring's code to four qubits, we can obtain the full Clifford group on that subspace.

研究动机与目标

• 开发一种在 CSS 量子码中利用对称性和横跨操作实现逻辑 Clifford 门的一般方法。
• 通过避免辅助量子比特和串行门执行，消除容错量子计算中的量子比特和时间开销。
• 证明当将逻辑子空间限制在四个量子比特时，可通过折叠-横跨门实现完整的 Clifford 群。
• 将折叠构造从表面码推广至任意对称的 CSS 码，特别是 LDPC 码。
• 展示该方法与支持非局域量子比特连通性的各种量子硬件架构的兼容性。

提出的方法

• 将 ZX 对偶性定义为在 CSS 码中映射 Z- 和 X-校验的对称性，从而实现折叠-横跨门的构建。
• 从 ZX 对偶性 τ 构造 Hadamard 类型门 Hτ 和相位类型门 Sτ，这些门在码的逻辑量子比特上实现横跨作用。
• 利用量子比特排列和折叠-横跨门生成一个与 Sp₈(𝔽₂) × C₂ 同构的群，作用于完整的逻辑空间。
• 将逻辑子空间限制在拉格朗日子空间 W 上，其支持一个维度为 8 的辛子空间 V，从而实现完整的 Clifford 群 C₄。
• 利用计算机代数系统（GAP）验证群结构和门生成，确认在 Clifford 操作下保持封闭性。
• 证明在折叠-横跨门集合中增加一个 CNOT 或 CZ 门，即可在八个逻辑量子比特上生成完整的 Clifford 群 C₈。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过 ZX 对偶性将表面码中的折叠概念推广至任意 CSS 码？
• RQ2 仅通过横跨门和量子比特排列，能否在低距离 LDPC 码中实现完整的 Clifford 群？
• RQ3 折叠-横跨构造是否能避免容错量子计算中的量子比特和时间开销？
• RQ4 能否通过仅使用折叠-横跨操作，将逻辑子空间限制以实现在更少逻辑量子比特上的完整 Clifford 群？
• RQ5 在像 Bring 的码这样的对称 CSS 码中，折叠-横跨门与排列门生成的群结构是什么？

主要发现

• 由折叠-横跨门与排列门生成的群同构于 Sp₈(𝔽₂) × C₂，证实了其丰富的逻辑操作结构。
• 通过将逻辑子空间限制在拉格朗日子空间，仅使用折叠-横跨门和排列即可实现完整的 Clifford 群 C₄。
• 在折叠-横跨门集合中增加一个 CNOT 或 CZ 门，即可在八个逻辑量子比特上生成完整的 Clifford 群 C₈。
• 该构造是容错的，不引入时间或量子比特开销，且与任何解码方案兼容。
• 该方法适用于任何足够对称的 CSS 码，特别适用于 LDPC 码，包括 Bring 的码等双曲码。
• 该方法与非局域量子架构（如光子、模块化或里德堡基系统）兼容，支持快速的任意到任意连通性。