[论文解读] Foliated manifolds, algebraic K-theory, and a secondary invariant

Ulrich Bunke|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文引入了一种针对具有稳定框架和部分平坦向量丛的奇数维叶状流形的 ${\mathbb{C}}/{\mathbb{Z}}$-值二次不变量，该不变量通过微分 $K$-理论或谱不变量定义。关键结果建立了一个公式，将此不变量与光滑函数代数 $K$-理论到带有 ${\mathbb{C}}/{\mathbb{Z}}$ 系数的连通 $K$-理论之间的调节映射联系起来，从而在单一框架下统一了经典的不变量，如 Adams $e$-不变量和 Godbillon-Vey 类。

ABSTRACT

We introduce a $\mathbb{C}/\mathbb{Z}$-valued invariant of a foliated manifold with a stable framing and with a partially flat vector bundle. This invariant can be expressed in terms of integration in differential $K$-theory, or alternatively, in terms of $η$-invariants of Dirac operators and local correction terms. Initially, the construction of the element in $\mathbb{C}/\mathbb{Z}$ involves additional choices. But if the codimension of the foliation is sufficiently small, then this element is independent of these choices and therefore an invariant of the data listed above. We show that the invariant comprises various classical invariants like Adams' $e$-invariant, the $ρ$-invariant of twisted Dirac operators, or the Godbillon-Vey invariant from foliation theory. Using methods from differential cohomology theory we construct a regulator map from the algebraic $K$-theory of smooth functions on a manifold to its connective $K$-theory with $\mathbb{C}/\mathbb{Z}$ coefficients. Our main result is a formula for the invariant in terms of this regulator and integration in algebraic and topological $K$-theory.

研究动机与目标

• 为具有稳定框架和部分平坦丛的叶状流形定义一个新的 ${\mathbb{C}}/{\mathbb{Z}}$-值不变量，该不变量在余维数约束下对几何选择保持不变。
• 建立该不变量与叶状丛底空间上光滑函数代数 $K$-理论之间的深刻联系。
• 在单一上同调框架下统一经典不变量，如 Adams $e$-不变量、$\rho$-不变量和 Godbillon-Vey 不变量。
• 构造从代数 $K$-理论到带有 ${\mathbb{C}}/{\mathbb{Z}}$ 系数的连通 $K$-理论的调节映射，并证明其与微分 $K$-理论中积分的相容性。

提出的方法

• 通过微分复 $K$-理论 $\widehat{KU}^*$ 中的积分构造该不变量，利用曲率与联络数据实现其几何实现。
• 以扭曲狄拉克算子的 $\eta$-不变量和涉及横截特征形式的修正项形式给出另一种表达式。
• 论文定义了调节映射 $\mathrm{reg}_X: K_p(C^\infty(X)) \to \mathbf{ku}{\mathbb{C}}/{\mathbb{Z}}^{-p-1}(X)$，将光滑函数的代数 $K$-理论与带有 ${\mathbb{C}}/{\mathbb{Z}}$ 系数的拓扑 $K$-理论联系起来。
• 使用类 Riemann-Roch 的图表，通过微分提升，将代数 $K$-理论与拓扑 $K$-理论联系起来，以证明主要公式。
• 证明该构造在满足 $2\mathrm{codim}(\mathcal{F}) < \dim(M)$ 时，对辅助选择（度量、联络延拓）保持不变。
• 该不变量被解释为调节映射与连通 $K$-理论中积分的复合，从而得到一个 ${\mathbb{C}}/{\mathbb{Z}}$ 中的类。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为具有稳定框架和部分平坦丛的叶状流形定义一个对几何选择无关的二次不变量？
• RQ2 该不变量与叶状丛底空间上光滑函数代数 $K$-理论之间的精确关系是什么？
• RQ3 该不变量如何统一经典不变量，如 Adams $e$-不变量、$\rho$-不变量和 Godbillon-Vey 类？
• RQ4 能否构造从代数 $K$-理论到带有 ${\mathbb{C}}/{\mathbb{Z}}$ 系数的连通 $K$-理论的调节映射，并用其表达该不变量？
• RQ5 在何种拓扑条件下，该不变量对辅助几何数据保持不变？

主要发现

• 不变量 $\rho(M,\mathcal{F},\nabla^I,s) \in \mathbb{C}/\mathbb{Z}$ 在 $2\mathrm{codim}(\mathcal{F}) < \dim(M)$ 时是良好定义的，且对几何选择保持不变。
• 该不变量具有两种等价描述：一种通过微分 $K$-理论中的积分，另一种通过 $\eta$-不变量与横截特征形式的组合。
• 主要结果将不变量表达为 $\rho(M,\mathcal{F},\nabla^I,s) = \pi_!^o(\mathrm{reg}_X(f^{o_s}_!( [V,\nabla^I]^{\mathrm{alg}} )))$，将其与代数 $K$-理论及调节映射联系起来。
• 该不变量包含了 Adams $e$-不变量、平坦丛的 $\rho$-不变量以及 Godbillon-Vey 不变量作为特例。
• 调节映射 $\mathrm{reg}_X$ 被构造为从 $C^\infty(X)$ 的代数 $K$-理论到带有 ${\mathbb{C}}/{\mathbb{Z}}$ 系数的连通 $K$-理论的自然变换。
• 在形如 $(P \times X, T_{\mathbb{C}}P \boxplus \{0\})$ 的叶状丛情况下，该不变量被证明通过 $C^\infty(X)$ 的代数 $K$-理论，且余维数条件确保了其良好定义。