[论文解读] Foliations and Rational Connectedness in Positive Characteristic

Mingmin Shen|ArXiv.org|Jun 4, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文在正特征下引入了自由有理连通（FRC）簇的概念，并证明此类簇存在有限纯不可分态射映射到一个分离有理连通（SRC）簇。通过叶层理论与形式邻域分析，作者建立了广义的Graber-Harris-Starr定理，并证明FRC簇是单连通的，从而解决了正特征下有理连通性与分离有理连通性之间的关键差异。

ABSTRACT

In this paper, the technique of foliations in characteristic $p$ is used to investigate the difference between rational connectedness and separable rational connectedness in positive characteristic. The notion of being freely rationally connected is defined; a variety is freely rationally connected if a general pair of points can be connected by a free rational curve. It is proved that a freely rationally connected variety admits a finite purely inseparable morphism to a separably rationally connected variety. As an application, a generalized Graber-Harris-Starr type theorem in positive characteristic is proved; namely, if a family of varieties over a smooth curve has the property that its geometric generic fiber is normal and freely rationally connected, then it has a rational section after some Frobenius twisting. We also show that a freely rationally connected variety is simply connected.

研究动机与目标

• 澄清正特征下有理连通性与分离有理连通性之间的区别。
• 定义并研究一类新的自由有理连通（FRC）簇。
• 证明每个FRC簇都存在有限纯不可分态射映射到一个SRC簇。
• 为FRC族建立正特征下的Graber-Harris-Starr定理的类比。
• 证明FRC簇是单连通的，从而将特征零下的结果推广。

提出的方法

• 利用X上自由有理曲线构造一个典范叶层D ⊂ TX，该叶层在正特征下对李括号与p次幂运算封闭。
• 通过叶层D定义商态射X → Y，表明Y继承自X的分离单有理丛性质或FRC结构。
• 分析自由有理曲线的形式邻域，以控制当商过程在SRC中不终止时的行为。
• 利用不终止条件，证明形式邻域上全局正则函数构成一个幂级数环。
• 对商构造进行迭代，经有限步后将FRC簇约化为SRC簇。
• 利用所得的SRC商簇，通过基变换及de Jong–Starr的已知结果，证明在弗罗贝尼乌斯扭后存在有理截面。

实验结果

研究问题

• RQ1 在正特征下，自由有理连通是否蕴含分离有理连通？若不成立，其间断点是什么？
• RQ2 能否从FRC簇构造一个到SRC簇的有限纯不可分态射？
• RQ3 自由有理曲线的形式邻域在控制商过程中的作用是什么？
• RQ4 在曲线上族的FRC簇是否在弗罗贝尼乌斯扭后存在有理截面？
• RQ5 在正特征下，一个完备正规的FRC簇是否是单连通的？

主要发现

• 在代数闭域上，正特征下的每个自由有理连通簇都存在有限纯不可分态射映射到一个分离有理连通簇。
• 若原始簇为FRC，则通过叶层的商过程在有限步内终止于一个SRC簇。
• 在正特征下存在广义的Graber-Harris-Starr定理：若曲线族的几何一般纤维为正规且FRC，则其在某个弗罗贝尼乌斯扭后存在有理截面。
• 在正特征下，完备正规FRC簇的代数基本群是平凡的，即此类簇是单连通的。
• 若商过程在SRC中不终止，则FRC簇上自由有理曲线的形式邻域的全局正则函数构成一个幂级数环。