[论文解读] Foliations on quaternion CR-submanifolds

Stere Ianuş, Adrian M. Ionescu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2007

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用 8

一句话总结

本文研究了四元数 Kähler 流形中四元数 CR-子流形上的典范叶状结构的几何性质，重点关注全实分布 $D^\perp$ 诱导出全测地或黎曼叶状结构的条件。主要贡献在于对四元数空间形式中 QR-积的刻画：在 $D^\perp$ 方向为 $D$-测地、可展的子流形，局部等距于一个四元数空间形式（曲率 $c$）与一个实空间形式（曲率 $c/4$）的黎曼积。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to study the canonical foliations of a quaternion CR-submanifold of a quaternion Kähler manifold.

研究动机与目标

• 研究四元数 Kähler 流形中四元数 CR-子流形上的典范叶状结构，特别是与全实分布 $D^\perp$ 相关的 $\mathfrak{F}^\perp$。
• 确定 $\mathfrak{F}^\perp$ 为全测地或黎曼叶状结构的充要条件。
• 刻画四元数空间形式中的 QR-积，并将其与测地及可展子流形结构联系起来。
• 建立四元数 CR-子流形分解为四元数子流形与全实子流形的黎曼积的几何条件。
• 推导在四元数空间形式背景下，叶状结构 $\mathfrak{F}$ 和 $\mathfrak{F}^\perp$ 的叶的曲率性质。

提出的方法

• 利用高斯公式与温加滕公式，将全空间四元数 Kähler 流形 $\overline{M}(c)$ 的曲率与子流形 $M$ 的内蕴曲率联系起来。
• 应用高斯方程，将 $\overline{M}$ 的曲率张量 $\overline{R}$ 分解为涉及第二基本形式 $B$ 与 $M$ 上诱导曲率 $R$ 的分量。
• 分析 $D$-高斯方程与 $D^\perp$-高斯方程，以分离出来自分布 $D$ 与 $D^\perp$ 的曲率贡献。
• 利用 $D$-测地性与 $D^\perp$-测地性的条件，将诱导曲率张量与相应分布的曲率张量等同。
• 使用四元数空间形式的曲率公式（公式 4）计算叶状结构 $\mathfrak{F}$ 与 $\mathfrak{F}^\perp$ 的叶的截面曲率。
• 应用可展子流形与混合测地条件的概念，推导出 $M$ 为 QR-积的充要条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在四元数 CR-子流形上，与 $D^\perp$ 相关的叶状结构 $\mathfrak{F}^\perp$ 何时为全测地？
• RQ2 叶状结构 $\mathfrak{F}^\perp$ 何时为黎曼叶状结构？这会对第二基本形式 $B$ 施加何种几何约束？
• RQ3 在四元数空间形式 $\overline{M}(c)$ 中，QR-积的几何特征如何通过 $D$ 与 $D^\perp$ 的几何性质来刻画？
• RQ4 叶状结构 $\mathfrak{F}$ 与 $\mathfrak{F}^\perp$ 的叶的曲率性质如何与环境曲率 $c$ 相关联？
• RQ5 在 $\mathfrak{F}^\perp$ 方向为 $D$-测地、可展的子流形是否必为 QR-积？

主要发现

• 叶状结构 $\mathfrak{F}^\perp$ 在具有束状度量时为全测地，当且仅当 $M$ 是混合测地的，且对任意 $U,V \in \Gamma(D)$ 与 $(1,2,3)$ 的偶排列 $(\alpha,\beta,\gamma)$，有 $B(U,J_\alpha V) + B(V,J_\alpha U) \in J_\beta(D^\perp) \oplus J_\gamma(D^\perp)$。
• 在四元数空间形式 $\overline{M}(c)$ 中，若 $M$ 是相对于 $\mathfrak{F}^\perp$ 的 $D$-测地、可展子流形，则其为 QR-积，局部等距于 $L \times L^\perp$。
• 叶状结构 $\mathfrak{F}^\perp$ 的叶具有常数截面曲率 $\frac{c}{4}$，该结果由高斯方程与四元数空间形式的曲率公式导出。
• 叶状结构 $\mathfrak{F}$ 的叶具有常数四元数截面曲率 $c$，如通过计算 $g(R^D(X',J_\alpha X')J_\alpha X',X') = c$ 对单位向量场 $X' \in \Gamma(D)$ 所示。
• 全测地的四元数 CR-子流形为 QR-积，此结论由推论 6.3 与定理 6.2 确认。
• 当 $\mu = 0$ 时，四元数 CR-子流形 $M$ 为 QR-积当且仅当其为全测地，这在无混合挠率时建立了强等价关系。