[论文解读] Fonctions de Mittag-Leffler et processus de Lévy stables sans saut négatif

Thomas Simon|ArXiv.org|Apr 14, 2009

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 4被引用 5

一句话总结

本文通过Hankel路径的积分表示和Bernstein定理，证明了函数 $ D_\alpha(x) = E_\alpha(x^\alpha) - \alpha x^{\alpha-1} E_\alpha'(x^\alpha) $ 在 $ \alpha \in [1,2] $ 范围内完全单调。这导致了对非负稳定Lévy过程的上确界的新Wiener-Hopf分解恒等式，恢复了已知的小偏差常数，并以两个概率密度的凸组合形式给出了首达时间 $ T_1 $ 的密度的全新表达式。

ABSTRACT

It is noticed that a certain transform of the Mittag-Leffler function Ea is completely monotone for a in [1,2]. Using the explicit expressions of its Bernstein density, an identity in law between suprema of completely asymmetric Levy a-stable processes. In the spectrally positive case, we retrieve the exact expression of a unilateral small deviation constant which had been previously obtained by a different method by Bernyk, Dalang and Peskir.

研究动机与目标

• 证明函数 $ D_\alpha(x) = E_\alpha(x^\alpha) - \alpha x^{\alpha-1} E_\alpha'(x^\alpha) $ 在 $ \alpha \in [1,2] $ 范围内的完全单调性。
• 利用 $ D_\alpha $ 的完全单调性，推导出谱正向Lévy $ \alpha $-稳定过程上确界的新的分布恒等式。
• 通过一种新的解析方法，恢复一维稳定Lévy过程的小偏差常数。
• 以两个概率密度的凸组合形式，显式给出首达时间 $ T_1 $ 的密度的积分表示。
• 通过一种新的分解方式，将 $ T_1 $ 的密度结构与独立随机变量的乘积联系起来，从而阐明其结构。

提出的方法

• 利用 $ 1/\Gamma(1+\alpha n) $ 的积分表示，将 $ D_\alpha(x) $ 表示为Hankel路径上的围道积分。
• 应用解析延拓和Cauchy定理，变形围道，将 $ D_\alpha(x) $ 表示为拉普拉斯型积分。
• 利用Bernstein定理推断 $ D_\alpha(x) $ 完全单调，并确定其关联的Bernstein测度 $ \mu_\alpha $。
• 推导出首达时间 $ T_1 $ 的拉普拉斯变换为 $ \mathbb{E}[e^{-xT_1}] = D_\alpha(x) $，并将其与Mittag-Leffler函数联系起来。
• 通过变量替换和围道变形，将拉普拉斯变换表示为稳定子调和过程首达时间 $ \hat{T}_1 $ 的密度形式。
• 将密度 $ f_{T_1}(t) $ 分解为凸组合：$ f_{T_1}(t) = (1/\alpha) g_{\hat{T}_1}(t) + (1-1/\alpha) h_{\hat{T}_1}(t) $，其中 $ g_{\hat{T}_1} $ 和 $ h_{\hat{T}_1} $ 分别为独立随机变量乘积的密度。

实验结果

研究问题

• RQ1 函数 $ D_\alpha(x) = E_\alpha(x^\alpha) - \alpha x^{\alpha-1} E_\alpha'(x^\alpha) $ 在 $ \alpha \in [1,2] $ 范围内是否完全单调？
• RQ2 能否利用 $ D_\alpha(x) $ 的完全单调性，推导出谱正向Lévy $ \alpha $-稳定过程上确界的新的分布恒等式？
• RQ3 对于指数 $ \alpha \in (1,2) $ 的谱正向稳定过程，首达时间 $ T_1 $ 的密度的显式结构是什么？
• RQ4 如何利用Bernstein表示，将 $ T_1 $ 的拉普拉斯变换分解为两个概率密度的凸组合？
• RQ5 密度 $ g_{\hat{T}_1} $ 与 $ f_{\hat{T}_1} $ 之间有何关系？这与 $ f_{T_1} $ 的渐近行为有何关联？

主要发现

• 通过围道积分和Bernstein定理，已证明函数 $ D_\alpha(x) $ 在所有 $ \alpha \in [1,2] $ 范围内完全单调。
• 由于 $ D_\alpha(x) $ 的完全单调性，导出了谱正向Lévy $ \alpha $-稳定过程上确界与稳定子调和过程函数之间新的分布恒等式。
• 首达时间 $ T_1 $ 的密度被表示为 $ f_{T_1}(t) = (1/\alpha) g_{\hat{T}_1}(t) + (1-1/\alpha) h_{\hat{T}_1}(t) $，即两个概率密度的凸组合。
• 第一项 $ (1/\alpha) g_{\hat{T}_1}(t) $ 决定了 $ f_{T_1}(t) $ 在零附近的性质，而第二项 $ (1-1/\alpha) h_{\hat{T}_1}(t) $ 决定了其在无穷远处的行为。
• 密度 $ g_{\hat{T}_1}(t) $ 被证明为正，并通过积分变换与 $ f_{\hat{T}_1}(t) $ 相关联，从而解决了一个非显然的正性问题。
• 与 $ D_\alpha(x) $ 关联的Bernstein测度显式给出为 $ \mu_\alpha(dt) = \frac{(-\sin\pi\alpha)t^{\alpha-1}(1+t)}{\pi(t^{2\alpha} - 2t^\alpha \cos\pi\alpha + 1)} dt $。