[论文解读] Fonctions zêta et $L$ de variétés et de motifs

Bruno Kahn|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 3

一句话总结

本文对算术几何与代数几何中的ζ函数和L函数提供了全面且具有历史背景的概述，聚焦于黎曼ζ函数、有限域上概形的ζ函数及其到动机的推广。文章展示了韦伊对有限域上曲线的ζ函数的黎曼猜想的证明，建立了狄利克雷、赫克和阿廷L函数的基础结果，并引入了动机框架，最终提出了标准猜想与塔特猜想。

ABSTRACT

Rédaction d'un cours de M2 donné à Jussieu au printemps 2013. This is the write-up of a Masters course given at Jussieu in Spring 2013.

研究动机与目标

• 为数论与代数几何中的ζ函数和L函数提供一个统一且具有历史根基的阐述。
• 呈现韦伊对有限域上曲线的ζ函数的黎曼猜想的证明。
• 在动机的背景下发展L函数理论，包括标准猜想与塔特猜想的表述。
• 将经典结果（如狄利克雷定理）与现代上同调方法及动机结构联系起来。
• 为算术几何领域的高级学生与研究人员提供教学与研究兼备的参考文献。

提出的方法

• 追溯从黎曼到韦伊与格罗滕迪克的ζ函数与L函数的历史发展，采用教学性、发生学的方法。
• 应用黎曼-罗赫定理与上同调技术，证明有限域上曲线的ζ函数的有理性和函数方程。
• 使用德沃克的p进方法，在平展上同调发展之前证明有限域上ζ函数的有理性。
• 通过赫克特征、阿廷表示与l进层引入L函数，将其与伽罗瓦表示联系起来。
• 通过适当的等价关系与对应关系构建动机范畴，强调其刚性与权重滤子。
• 应用格罗滕迪克的六个运算与平展上同调，定义并研究Hasse-Weil L函数及其函数方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 ζ函数与L函数如何统一算术与代数几何的多个领域？
• RQ2 有限域上曲线的ζ函数的黎曼猜想具有何种意义，韦伊如何证明它？
• RQ3 赫克与阿廷L函数如何推广狄利克雷L函数，其解析性质为何？
• RQ4 动机在统一不同几何与算术背景下ζ函数与L函数中扮演何种角色？
• RQ5 标准猜想与塔特猜想对代数循环与伽罗瓦表示的结构有何影响？

主要发现

• 韦伊利用黎曼-罗赫定理与迹公式技术，证明了光滑射影曲线在有限域上的ζ函数满足黎曼猜想。
• Z上有限型概形的ζ函数是有理函数并满足函数方程，此结果由F.K. 施密特证明，并由韦伊进一步推广。
• 德沃克的p进方法在平展上同调出现之前，即提供了有限域上ζ函数有理性的证明。
• 狄利克雷、赫克与阿廷L函数被证明具有亚纯延拓与函数方程，阿廷猜想通过布劳尔的归纳法得以解决。
• 动机理论为L函数提供了普遍框架，标准猜想与塔特猜想对代数循环的结构提供了深刻的洞见。
• 全球域上光滑射影概形的完备L函数满足函数方程，此结论由塞尔借助平展上同调与权重理论形式化。