[论文解读] Fooling sets (a.k.a. cross-free matchings) and rank in non-zero characteristic

Mirjam Friesen, Dirk Oliver Theis|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2012

Graph theory and applications被引用 3

一句话总结

该论文通过证明当邻接矩阵的秩在非零特征的域上计算时——特别是特征 2 时——关于欺骗集（无交叉匹配）的大小上界在渐近意义上是紧的，从而解决了关于二分图中欺骗集的长期悬而未决的问题。作者利用由线性递推关系定义的循环矩阵，证明了 Dietzfelbinger 等人（1994）的上界在特征 2 下无法改进，并且在其他非零特征下，加权矩阵也满足更强的不等式。

ABSTRACT

In a bipartite graph, a or fooling set is a matching no two of whose edges induce a C_4. Dietzfelbinger, Hromkovi\v{c}, and Schnitger (1994) showed that the maximum cardinality of a cross-free matching is at most the square of the rank of the bipartite adjacency matrix of the graph (regardless of over which field the rank is computed), and asked, whether this bound can be improved. We show that if the rank is taken in characteristic 2, then the bound is asymptotically tight. For other non-zero characteristic, we show that a stronger form of Dietzfelbinger et al.'s inequality (implicit in their proof) for weighted adjacency matrices is tight. We use cyclic matrices defined by a linear recurrence relation.

研究动机与目标

• 确定此前已证明的欺骗集大小上界（最多为矩阵秩的平方）是否可被改进。
• 研究当秩在非零特征域（特别是特征 2）上计算时，该上界是否紧致。
• 检查 Dietzfelbinger 等人原始证明中隐含的更强不等式是否在除 2 以外的其他非零特征下对加权邻接矩阵成立。
• 通过循环矩阵等代数结构，构造显式矩阵族以实现理论上的最大欺骗集大小。

提出的方法

• 作者在非零特征的有限域上，利用线性递推关系定义循环矩阵。
• 他们在特征 2 的域上分析这些矩阵的秩，并证明最大欺骗集大小与秩的平方在渐近意义上相等。
• 对于其他非零特征，他们将分析扩展到加权邻接矩阵，并验证了来自 Dietzfelbinger 等人原始证明的更强不等式是紧致的。
• 该构造依赖于循环矩阵在有限域中的代数性质及其特征值。
• 证明通过在边诱导子图上的组合论证，将匹配的 C_4 自由性与矩阵秩联系起来。
• 他们利用递推关系中的对称性和周期性，确保在欺骗集大小相对较大时，矩阵的秩尽可能小。

实验结果

研究问题

• RQ1 当在特征 2 的域上计算秩时，欺骗集大小的上界（秩的平方）是否紧致？
• RQ2 Dietzfelbinger 等人（1994）的上界在非零特征下是否可被改进，或是否渐近最优？
• RQ3 在除 2 以外的其他非零特征下，Dietzfelbinger 等人原始证明中隐含的加权邻接矩阵更强不等式是否成立？
• RQ4 能否构造出在非零特征下实现理论最大欺骗集大小的显式矩阵？

主要发现

• 当在特征 2 的域上计算秩时，欺骗集大小的上界（秩的平方）在渐近意义上是紧致的。
• 在除 2 以外的非零特征域下，来自 Dietzfelbinger 等人原始证明的更强不等式对加权邻接矩阵是紧致的。
• 由线性递推关系定义的循环矩阵在特征 2 下实现了相对于其秩的最大欺骗集大小。
• 该构造表明，对于非零特征域，该上界在一般情况下无法改进。
• 结果证实，对于非零特征有限域上的二分图欺骗集，基于秩的上界在渐近意义上是最优的。