[论文解读] For Fixed Control Parameters the Quantum Approximate Optimization Algorithm's Objective Function Value Concentrates for Typical Instances

Fernando G. S. L. Brandão, Michael Broughton+3 more|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 61

一句话总结

本文表明，在固定的 QAOA 深度 p 下，目标值在从分布中抽取的典型问题实例上集中，这意味着势景在很大程度上与实例无关，并有可能在实例之间实现参数重用。

ABSTRACT

The Quantum Approximate Optimization Algorithm, QAOA, uses a shallow depth quantum circuit to produce a parameter dependent state. For a given combinatorial optimization problem instance, the quantum expectation of the associated cost function is the parameter dependent objective function of the QAOA. We demonstrate that if the parameters are fixed and the instance comes from a reasonable distribution then the objective function value is concentrated in the sense that typical instances have (nearly) the same value of the objective function. This applies not just for optimal parameters as the whole landscape is instance independent. We can prove this is true for low depth quantum circuits for instances of MaxCut on large 3-regular graphs. Our results generalize beyond this example. We support the arguments with numerical examples that show remarkable concentration. For higher depth circuits the numerics also show concentration and we argue for this using the Law of Large Numbers. We also observe by simulation that if we find parameters which result in good performance at say 10 bits these same parameters result in good performance at say 24 bits. These findings suggest ways to run the QAOA that reduce or eliminate the use of the outer loop optimization and may allow us to find good solutions with fewer calls to the quantum computer.

研究动机与目标

• 促使研究 QAOA 在随机问题实例上的性能。
• 表明在固定深度下，QAOA 的目标值在典型实例中呈现集中现象。
• 展示对实际问题类别，目标景观的实例无关性。

提出的方法

• 将 QAOA 状态表达为对均匀态 |s> 交替作用 U(B, beta) 和 U(C, gamma)。
• 将成本期望 F_p(gamma, beta) 分解为对 MaxCut 的局部边贡献的和。
• 分析 p=1 的 3-正则 MaxCut 情况，在大 n 时证明集中性。
• 利用大数定律和数值证据将论证扩展到更高深度的电路。
• 提供数值模拟以说明集中性和跨尺寸的参数转移。
• 讨论对减少外循环优化和参数重用的影响。

实验结果

研究问题

• RQ1 在固定 p 和较大 n 时，QAOA 的目标值是否在典型实例中集中？
• RQ2 所考虑问题类别中的集中现象是否实例无关？
• RQ3 深度 p 如何影响集中性，且是否能在数值上观测到超出 p=1 的情形？
• RQ4 集中现象是否能够在不同实例大小或分布之间实现参数重用？
• RQ5 这些结果对近端量子设备的实际优化策略有何影响？

主要发现

• 在深度 p=1 的 3-正则 MaxCut 图中，随着 n 增大，QAOA 目标值出现集中。
• 数值结果表明集中性在更高深度下仍然存在，作者通过大数定律给出论证。
• 势景在典型实例之间几乎完全相同，而不仅仅在最优参数处。
• 模拟表明在较小位精度（例如 10 位）下找到的参数在较大尺寸（例如 24 位）时表现良好。
• 这种集中性意味着存在减少或消除外循环优化的潜在策略，并以更少的量子计算机调用获得良好解。