[论文解读] Forbidden subgraphs for constant domination number

Michitaka Furuya|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2018

Advanced Graph Theory Research被引用 4

一句话总结

本文表征了在所有连通 $χ$-自由图中保证支配数为常数的连通禁止诱导子图集合。证明了此类集合 $χ$ 满足 (A1) 当且仅当 $χ \leq \{K^{*}_k, S^{*}_\ell, P_m\}$，其中 $k, \ell, m$ 为正整数，且 $K^{*}_k$ 和 $S^{*}_\ell$ 为特定的星形图，$P_m$ 为一条路径。该结果可推广至满足线性等价性的其他支配类不变量。

ABSTRACT

In this paper, we characterize the sets $\mathcal{H}$ of connected graphs such that there exists a constant $c=c(\mathcal{H})$ satisfying $γ(G)\leq c$ for every connected $\mathcal{H}$-free graph $G$, where $γ(G)$ is the domination number of $G$.

研究动机与目标

• 确定所有连通图集合 $\mathcal{H}$，使得每个 $\mathcal{H}$-自由的连通图的支配数至多为一个固定常数 $c = c(\mathcal{H})$。
• 以诱导子图 $K^{*}_k$、$S^{*}_\ell$ 和 $P_m$ 的形式，表征此类禁止子图集合 $\mathcal{H}$ 的结构。
• 将该表征结果推广至满足与支配数线性等价性的其他支配类不变量。

提出的方法

• 使用拉姆齐理论来限制 $\{K^{*}_k, S^{*}_\ell\}$-自由图中邻域的大小，通过定义递归函数 $g_{k,\ell}(i)$ 和 $f_{k,\ell}(i)$ 来控制从中心顶点出发距离为 $i$ 的支配集。
• 对固定顶点 $a$ 的距离 $i$ 进行归纳，构造每一层 $N^i_G(a)$ 的支配集，确保总大小有界。
• 使用 $\mathcal{H}_1 \leq \mathcal{H}_2$ 的概念来比较禁止子图集合，其中 $H_1$ 是 $H_2$ 的诱导子图。
• 利用 $\gamma(G) \leq c$ 对所有 $\mathcal{H}$-自由的连通图 $G$ 成立的必要条件，即 $K^{*}_{c+1}, S^{*}_{c+1}, P_{3c+1}$ 不能是 $\mathcal{H}$-自由的，从而得出必要条件。
• 证明若 $\mathcal{H} \leq \{K^{*}_k, S^{*}_\ell, P_m\}$，则 $\gamma(G) \leq 1 + \sum_{2 \leq i \leq m-2} f_{k,\ell}(i)$，该值仅依赖于 $k, \ell, m$，为常数。
• 将结果推广至满足 $c_1 \gamma(G) \leq \mu(G) \leq c_2 \gamma(G)$ 的不变量 $\mu$，表明 $\mu(G)$ 有界当且仅当 $\mathcal{H} \leq \{K^{*}_k, S^{*}_\ell, P_m\}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些连通图集合 $\mathcal{H}$，所有连通 $\mathcal{H}$-自由图的支配数 $\gamma(G)$ 在所有图中一致有界？
• RQ2 哪些 $\mathcal{H}$ 的结构性质可确保 $\gamma(G) \leq c$ 对某个绝对常数 $c$ 成立？
• RQ3 图 $K^{*}_k$、$S^{*}_\ell$ 和 $P_m$ 如何作为常数支配数的最小障碍？
• RQ4 该表征是否可推广至与 $\gamma(G)$ 线性等价的其他支配类不变量 $\mu$？
• RQ5 拉姆齐数和递归邻域支配函数在禁止子图约束下控制支配数时起到何种作用？

主要发现

• 所有连通 $\mathcal{H}$-自由图的支配数 $\gamma(G)$ 有界当且仅当 $\mathcal{H} \leq \{K^{*}_k, S^{*}_\ell, P_m\}$，其中 $k, \ell, m$ 为正整数。
• 对 $\gamma(G)$ 的界被显式量化为 $\gamma(G) \leq 1 + \sum_{2 \leq i \leq m-2} f_{k,\ell}(i)$，其中 $f_{k,\ell}(i)$ 是基于拉姆齐数递归定义的函数。
• $K^{*}_{c+1}$、$S^{*}_{c+1}$ 和 $P_{3c+1}$ 是最小障碍：若它们作为诱导子图存在，则无法实现支配数的统一有界性。
• 该结果可推广至任意满足 $c_1 \gamma(G) \leq \mu(G) \leq c_2 \gamma(G)$ 的不变量 $\mu$，其中 $\mu(G)$ 有界当且仅当 $\mathcal{H} \leq \{K^{*}_k, S^{*}_\ell, P_m\}$。
• 证明依赖于邻域支配论证，利用拉姆齐理论的界，表明在 $\{K^{*}_k, S^{*}_\ell\}$-自由图中，从某顶点出发距离为 $i$ 的独立集可被距离 $i-1$ 处的一个小集合支配。
• 该表征是紧致的：若 $\mathcal{H}$ 不被 $\{K^{*}_k, S^{*}_\ell, P_m\}$ 支配，则 $\gamma(G)$ 在 $\mathcal{H}$-自由图中无界。