[论文解读] Forcing large complete minors in infinite graphs

Maya Stein, José Zamora|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2011

Advanced Graph Theory Research参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文通过引入相对端点度的广义概念，将有限图中强迫出现大完全子式这一经典结果推广至无限图。通过结合最小顶点度与最小相对端点度，作者证明：对于具有可数多个端点的无限图，若其组合度条件足够高，则必包含大完全拓扑子式，从而将Mader与Kostochka-Bollobás-Thomason定理推广至无限情形。

ABSTRACT

It is well-known that in finite graphs, large complete minors/topological minors can be forced by assuming a large average degree. Our aim is to extend this fact to infinite graphs. For this, we generalise the notion of the relative end degree, which had been previously introduced by the first author for locally finite graphs, and show that large minimum relative degree at the ends and large minimum degree at the vertices imply the existence of large complete (topological) minors in infinite graphs with countably many ends.

研究动机与目标

• 将经典结果——高平均度迫使有限图中出现大完全子式——推广至无限图。
• 解决仅靠最小顶点度无法在无限图中强迫出现大子式的问题，原因在于无限树的存在。
• 提出并形式化相对端点度的概念，作为衡量无限图端点处密度的度量。
• 证明：当最小顶点度与最小相对端点度均足够高时，具有可数多个端点的无限图中必出现大完全拓扑子式。
• 通过结合顶点与端点的度条件，将Mader与Kostochka-Bollobás-Thomason定理推广至无限情形。

提出的方法

• 将相对端点度的概念从局部有限图推广至具有可数多个端点的任意无限图。
• 将端点ω的相对度定义为：对所有收敛于ω的ω-区域序列(Hi)，取|∂eHi| / |∂vHi|的极限下确界之下确界。
• 引入组合最小度δV,Ω(G)，定义为图G中所有顶点度与相对端点度的最小值。
• 通过递归构造有限子图Si，生成平均度递增的集合序列。
• 应用Kőnig的无限引理，从子图中存在无限射线且平均度有界的假设中导出矛盾。
• 利用不相交的有限集合族F及其分离性质，控制连通性与度的增长。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将经典结果——高平均度迫使有限图中出现大完全子式——推广至无限图？
• RQ2 在高最小顶点度之外，还需何种额外结构条件，才能在无限图中强迫出现大完全子式？
• RQ3 如何形式化端点度的概念，以捕捉无限图中向无穷逃逸的密度？
• RQ4 是否存在一种结合顶点度与端点度的度条件，能保证具有可数多个端点的无限图中必出现大完全拓扑子式？
• RQ5 相对端点度在多大程度上可作为无限图子式定理中平均度的合适替代？

主要发现

• 本文证明：若组合最小度δV,Ω(G) > c1k√log k，则完全图Kk是G的子式。
• 对于拓扑子式，若δV,Ω(G) > c2k²，则Kk是G的拓扑子式，将有限情形的结果推广至无限图。
• 子图G′中存在无限多顶点的射线，与构造矛盾，表明该过程必在有限子图中终止，且该子图具有高平均度。
• 集合Si的构造确保G′[Si]中顶点的平均度超过m−k+1，从而生成一个足够稠密的有限子图，可包含大完全子式。
• 相对端点度提供了一种稳健的端点密度度量，可防止无限图中密度向无穷逃逸。
• 证明依赖于有限子图的递归构造及Kőnig的无限引理，从假设不存在大子式出发导出矛盾。