[论文解读] Forcing theory for transverse trajectories of surface homeomorphisms

Patrice Le Calvez, Fábio Armando Tal|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 38被引用 44

一句话总结

本文提出了一种关于与恒同映射同伦的曲面自同胚中横向轨迹的新强制理论，利用极大同伦与横向 foliation 推导动力学后果。证明了若环面的哈密顿自同胚的旋转集内部包含零，则该旋转集要么为单点集，要么内部包含零——从而证明了 Boyland 的猜想——并建立了关于环面与环面自同胚的旋转集和熵的新结果。

ABSTRACT

This paper studies homeomorphisms of surfaces isotopic to the identity by means of purely topological methods and Brouwer theory. The main development is a novel theory of orbit forcing using maximal isotopies and transverse foliations. This allows us to derive new proofs for some known results as well as some new applications, among which we note the following: we extend Franks and Handel's classification of zero entropy maps of $S^2$ for non-wandering homeomorphisms; we show that if $f$ is a Hamiltonian homeomorphism of the annulus, then the rotation set of $f$ is either a singleton or it contains zero in the interior, proving a conjecture posed by Boyland; we show that there exist compact convex sets of the plane that are not the rotation set of some torus homeomorphisms, proving a first case of the Franks-Misiurewicz Conjecture; we extend a bounded deviation result relative to the rotation set to the general case of torus homeomorphisms.

研究动机与目标

• 开发一种利用极大同伦与横向 foliation 的新强制理论，用于研究与恒同映射同伦的曲面自同胚的横向轨迹。
• 提供拓扑的、非光滑的机制，用于检测曲面自同胚中的正拓扑熵。
• 将关于旋转集与周期点增长的已知结果推广至一般自同胚，包括非光滑与非 C1 情况。
• 证明平面上某些紧凸集不能作为环面自同胚的旋转集实现，支持 Franks-Misiurewicz 猜想。
• 将相对于旋转集的有界偏离结果推广至整个环面自同胚类。

提出的方法

• 将极大同伦定义为：自同胚的任意不动点相对于同伦的不动点集，其轨迹均不可缩。
• 使用横向 foliation——即与极大同伦对偶的奇异、定向 foliation——其中轨迹与叶面横截。
• 引入横向轨迹作为叶空间中的路径，其定义在等价关系下唯一，并利用其交点性质强制产生新轨迹。
• 应用关键强制机制：若两条横向轨迹横截相交，则可通过在交点处连接并反向，构造新轨迹。
• 利用有限横向轨迹作为环路的倍数实现，证明具有指定横向动力学的周期点的存在性。
• 利用无限横向轨迹的自交点，通过环面上的分离论证，证明周期点数量呈指数增长，并得到正拓扑熵。

实验结果

研究问题

• RQ1 在曲面自同胚中，横向轨迹的交点是否能强制新周期轨道或轨迹的存在？
• RQ2 环面哈密顿自同胚的旋转集在何种条件下其内部包含零？
• RQ3 R^2 的哪些紧凸子集可作为环面自同胚的旋转集实现？
• RQ4 在不依赖光滑性假设的前提下，能否在一般与恒同映射同伦的自同胚中检测到正拓扑熵？
• RQ5 相对于旋转集的有界偏离结果，能在多大程度上从 C1 或光滑情形推广至一般情形？

主要发现

• 环面哈密顿自同胚的旋转集要么为单点集，要么其内部包含零，从而证明了 Boyland 的猜想。
• 存在平面上的紧凸集不能作为任何环面自同胚的旋转集实现，确认了 Franks-Misiurewicz 猜想的第一个情形。
• 本文为一般环面自同胚建立了相对于旋转集的有界偏离结果，将先前结果推广至非光滑映射。
• 若两个遍历点具有横截相交的无限横向轨迹，则周期为 n 的周期点数量随 n 呈指数增长。
• 在闭曲面上，横向轨迹的自交点即蕴含正拓扑熵，即使在无光滑性假设下亦成立。
• 环面自同胚的拓扑熵下界为 log 2 / (m r N)，其中 m, r, N 为由横向环路动力学导出的参数。