[论文解读] Forgetting complex propositions

David Fernández–Duque, Ángel Nepomuceno–Fernández+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2015

Logic, Reasoning, and Knowledge被引用 1

一句话总结

本文通過可能世界模型為複雜命題公式的遺忘引入形式語義，提出一種統一的「遺忘是否 π」操作，該操作在所有可能世界中非確定性且統一地修改原子事實。它在行動模型邏輯中提供了健全且完備的公理化系統，區分於較簡單的遺忘與依賴遺忘變體，並證明統一遺忘是否所產生的邏輯與依賴遺忘不同。

ABSTRACT

This paper uses possible-world semantics to model the changes that may occur in an agent's knowledge as she loses information. This builds on previous work in which the agent may forget the truth-value of an atomic proposition, to a more general case where she may forget the truth-value of a propositional formula. The generalization poses some challenges, since in order to forget whether a complex proposition $\pi$ is the case, the agent must also lose information about the propositional atoms that appear in it, and there is no unambiguous way to go about this. We resolve this situation by considering expressions of the form $[\boldsymbol{\ddagger} \pi]\varphi$, which quantify over all possible (but minimal) ways of forgetting whether $\pi$. Propositional atoms are modified non-deterministically, although uniformly, in all possible worlds. We then represent this within action model logic in order to give a sound and complete axiomatization for a logic with knowledge and forgetting. Finally, some variants are discussed, such as when an agent forgets $\pi$ (rather than forgets whether $\pi$) and when the modification of atomic facts is done non-uniformly throughout the model.

研究动机与目标

• 建模遺忘複雜命題公式真值的知識影響，而不僅僅是原子命題。
• 透過引入統一、非確定性的遺忘操作，解決遺忘複雜公式時非唯一方式的挑戰。
• 使用行動模型邏輯，為知識與遺忘提供形式邏輯，並建立健全且完備的公理化系統。
• 區分並比較不同的遺忘變體：統一遺忘是否、簡單遺忘與依賴遺忘。
• 探討統一遺忘是否與依賴遺忘之間的語義與邏輯差異，並證明它們會導出不同的邏輯。

提出的方法

• 引入新模態符號 [‡π]ϕ 以表達「遺忘是否 π」，對所有遺忘 π 真值的最小方式進行量化。
• 利用遺忘函數 f1: W → C(π) 和 f2: W → C(¬π) 建構一組模型 M(f1,f2)，表示對原子真值的最小變更。
• 定義依賴滿足關係 |=d，根據所有此類遺忘函數的組合來評估 [‡π]ϕ。
• 使用行動模型邏輯來表示遺忘操作，並推導出所產生邏輯的健全且完備的公理系統。
• 應用克里普克風格的可能世界語義，結合知識模型與基於雙生變換的等價性，以捕捉知識的變化。
• 證明統一遺忘是否無法簡化為較簡單的遺忘，且其產生的邏輯與依賴遺忘不同。

实验结果

研究问题

• RQ1 當代理遺忘複雜命題公式 π 真值時，其知識如何被形式化更新？
• RQ2 對於一般命題公式 π，『遺忘是否 π』的語義與邏輯結構為何？
• RQ3 能否為擴展了遺忘操作的動態知識邏輯發展出健全且完備的公理化系統？
• RQ4 在邏輯表達力與模型行為方面，統一遺忘是否與較簡單遺忘或依賴遺忘有何差異？
• RQ5 是否能以較簡單遺忘操作來定義統一遺忘是否，還是它們在邏輯上是獨立的？

主要发现

• 統一遺忘是否的邏輯，記為 Log✷‡，嚴格強於依賴遺忘的邏輯 d-Log✷‡，如反例公式 ϕ = ✷(p ∧ q) → [‡(p ∧ q)](✷p ∨ ✷q) 所示：該公式在 Log✷‡ 中有效，但在 d-Log✷‡ 中無效。
• 為知識與統一遺忘是否的邏輯提供了健全且完備的公理化系統，使用行動模型邏輯與可能世界語義。
• 由遺忘函數 f1 與 f2 建構的模型 M(f1,f2) 捕捉了所有遺忘 π 的最小方式，其中每個世界副本代表對原子事實的一種獨特最小變更。
• 統一遺忘導致的資訊損失小於依賴遺忘，如後者可能使在統一遺忘下有效的公式失效所顯示。
• 本文證明統一遺忘是否無法以較簡單遺忘操作來定義，從而確立兩者之間的邏輯分離。
• 所提出的框架避免依賴可信度排序或模型相似性，提供一種與知識表示中信念收縮與知識遺忘不同的新方法。