[论文解读] Formal gluing along non-linear flags

Benjamin Hennion, Mauro Porta+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2016

Advanced Numerical Analysis Techniques被引用 5

一句话总结

本文通过非交换代数几何定义在穿孔形式邻域上的相容性，为任意在域 $k$ 上局部有限型的阿廷堆栈上的几乎完美复形与 $G$-丛的堆栈建立了形式粘合定理。关键贡献在于沿非线性旗的分解，将其推广至导出阿廷堆栈，并为导出 $Σ$-范畴（几乎完美模）提供了新的局部化与旗分解公式。

ABSTRACT

In this paper we prove formal glueing along an arbitrary closed substack $Z$ of an arbitrary Artin stack $X$ (locally of finite type over a field $k$), for the stacks of (almost) perfect complexes , and of $G$-bundles on $X$ (for $G$ a smooth affine algebraic $k$-group scheme). By iterating this result, we get a decomposition of these stacks along an arbitrary nonlinear flag of closed substacks in $X$. By taking points over the base field, we deduce from this both a formal glueing, and a flag-related decomposition formula for the corresponding symmetric monoidal derived $\infty$-categories of (almost) perfect modules. When $X$ is a quasi-compact and quasi-separated scheme, we also prove a localization theorem for almost perfect complexes on $X$, which parallels Thomason's localization results for perfect complexes. This is one of the main ingredients we need to provide a global characterization of the category of almost perfect complexes on the punctured formal neighbourhood. We then extend all of the previous results - i.e. the formal glueing and flag-decomposition formulas - to the case when $X$ is a derived Artin stack (locally almost of finite type over a field $k$), for the derived versions of the stacks of (almost) perfect modules, and of $G$-bundles on $X$. We close the paper by highlighting some expected progress in the subject matter of this paper, related to a Geometric Langlands program for higher dimensional varieties. In an Appendix (for $X$ a variety), we give a precise comparison between our formal glueing results and the rigid-analytic approach of Ben-Bassat and Temkin.

研究动机与目标

• 建立任意在域 $k$ 上局部有限型的阿廷堆栈上（几乎）完美复形与 $G$-丛的形式粘合定理。
• 将形式粘合推广至局部几乎有限型的导出阿廷堆栈。
• 在闭子堆栈的穿孔形式邻域上，对（几乎）完美复形提供全局刻画。
• 为导出 $Σ$-范畴（几乎完美模）推导与旗相关的分解公式。
• 为高维几何朗兰兹程序奠定基础工具。

提出的方法

• 定义函子 $\widehat{\mathfrak{W}}^\circ_{Z/X}$ 以建模穿孔形式邻域，其本身不满足下降性，但支持（几乎）完美模与 $G$-丛的下降性。
• 使用平展下降技术证明（几乎）完美模与 $G$-丛在该非标准范畴上满足下降性。
• 应用 Verdier 商与 $t$-结构技术分析几乎完美模的导出范畴。
• 为拟紧、拟分离概形上的几乎完美复形构造一个局部化定理，类比于 Thomason 的结果。
• 利用幂等完备化与 ind-完备化，关联导出设定下模范畴及其 ind-完备化。
• 通过在对称张量稳定 $k$-线性 $Σ$-范畴的 $∞$-范畴框架下工作，将结果推广至导出阿廷堆栈。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在任意阿廷堆栈（而不仅限于概形或 Deligne-Mumford 堆栈）上建立（几乎）完美复形堆栈的形式粘合？
• RQ2 当开补集与形式完备化之间的交集为空时，如何定义其上对象之间的相容性？
• RQ3 闭子堆栈的穿孔形式邻域上，几乎完美模的导出 $Σ$-范畴具有何种结构？
• RQ4 能否沿任意非线性旗的闭子堆栈，为几何对象的堆栈构造旗分解？
• RQ5 非交换几何在缺乏经典交集的情况下，如何实现形式粘合？

主要发现

• 形式粘合在任意在 $k$ 上局部有限型的阿廷堆栈 $X$ 上的堆栈 $\mathbf{Perf}^\otimes_X$、$\mathbf{Coh}^\otimes_{X,-}$ 与 $\mathbf{Bun}_G(X)$ 上成立，取值于对称张量 $∞$-范畴。
• 在任意非线性旗的闭子堆栈上，$X$ 上几乎完美模的导出 $Σ$-范畴允许分解，推广了经典粘合。
• 为拟紧、拟分离概形上的几乎完美复形建立了一个局部化定理，将 Thomason 的结果推广至几乎完美情形。
• 穿孔形式邻域函子 $\widehat{\mathfrak{W}}^\circ_{Z/X}$ 虽自身不满足下降性，但支持（几乎）完美模与 $G$-丛的下降性。
• 结果可推广至在 $k$ 上局部几乎有限型的导出阿廷堆栈，导出设定下存在类似的形式粘合与旗分解定理。
• 与 Ben-Bassat 与 Temkin 的刚性解析方法进行了比较，显示在代数设定下具有相容性与独特优势。