[论文解读] Formal Groups, Witt vectors and Free Probability

R. Friedrich, John McKay|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 37被引用 12

一句话总结

本文建立了自由概率论、Witt向量与形式群法则之间的深刻联系，表明Voiculescu的自由乘法卷积可通过自由加法卷积的指数同构来表达。关键结果是，第 $n$ 个通用自由矩生成元对应于 $ℝ\mathbb{P}^{n-1}$ 的复复叠同调类，从而在随机矩阵分布与典范类之间建立起字典关系，并证明每个均值为零的概率测度均可通过KP层级与 $τ$-函数嵌入到Sato-Segal-Wilson格拉斯曼流形中。

ABSTRACT

We establish a link between free probability theory and Witt vectors, via the theory of formal groups. We derive an exponential isomorphism which expresses Voiculescu's free multiplicative convolution $\boxtimes$ as a function of the free additive convolution $\boxplus$. Subsequently we continue our previous discussion of the relation between complex cobordism and free probability. We show that the generic $n$th free cumulant corresponds to the cobordism class of the $(n-1)$-dimensional complex projective space. This permits us to relate several probability distributions from random matrix theory to known genera, and to build a dictionary. Finally, we discuss aspects of free probability and the asymptotic representation theory of the symmetric group from a conformal field theoretic perspective and show that every distribution with mean zero is embeddable into the Universal Grassmannian of Sato-Segal-Wilson.

研究动机与目标

• 通过形式群法则在自由概率与Witt向量理论之间建立正式联系。
• 推导一个指数同构，将自由乘法卷积表达为自由加法卷积的形式。
• 将自由矩生成元与复复叠同调类（特别是 $\mathbb{C}P^{n-1}$）联系起来，并将其与代数拓扑中的典范类关联。
• 利用 $τ$-函数与可积系统，将所有均值为零的概率测度嵌入到Sato-Segal-Wilson格拉斯曼流形的大胞腔中。
• 在随机矩阵理论的分布与复复叠中的已知典范类之间建立字典关系。

提出的方法

• 利用形式群法则理论，将自由加法卷积与乘法卷积与Witt向量结构联系起来。
• 应用 $S$-变换与 $R$-变换，推导出加法与乘法卷积群之间的指数同构 $\operatorname{EXP}$。
• 识别出表示自由加法与乘法卷积群的霍普夫代数，证明其同构于Witt向量的相应代数。
• 利用Krichever嵌入与KP层级，将格拉斯曼流形实现为具有形式坐标系的曲线的模空间。
• 应用从Witt向量环 $\Lambda$ 到格拉斯曼流形的大胞腔 $\operatorname{Gr}_0$ 的 $\operatorname{KSU}$ 映射。
• 在 $\operatorname{Gr}_0$ 上的行列式线丛上应用Virasoro代数作用，为测度空间赋予共形场论结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过指数同构将自由乘法卷积表示为自由加法卷积的函数？
• RQ2 自由矩生成元与射影空间复复叠同调类之间的确切对应关系是什么？
• RQ3 是否每个均值为零的概率测度均可通过 $τ$-函数与可积系统嵌入到Sato-Segal-Wilson格拉斯曼流形中？
• RQ4 复复叠中的典范类如何与随机矩阵理论中的概率分布相关联？
• RQ5 形式群法则与Witt向量在统一自由概率、代数拓扑与共形场论中的作用是什么？

主要发现

• 自由乘法卷积 $\boxtimes$ 通过指数映射 $\operatorname{EXP}$ 同构于自由加法卷积 $\boxplus$，类似于经典对数-指数关系。
• 第 $n$ 个自由矩生成元对应于 $\mathbb{C}P^{n-1}$ 的复复叠同调类，从而在自由概率与复复叠之间建立了直接联系。
• 自由加法与乘法卷积群作为形式群法则，同构于Witt向量所依据的群，其对应的霍普夫代数亦同构。
• $\operatorname{KSU}$ 映射将Witt向量环 $\Lambda$ 嵌入到Sato-Segal-Wilson格拉斯曼流形的大胞腔 $\operatorname{Gr}_0$ 中。
• 每个均值为零的概率测度均可通过 $\operatorname{Kerov}$、$\operatorname{EXP}$、$S$ 与 $\operatorname{KSU}$ 映射的复合，嵌入到 $\operatorname{Gr}_0$ 中。
• 中心为一的Virasoro代数作用于 $\operatorname{Gr}_0$ 上的行列式线丛，为测度空间赋予共形场论结构。