[论文解读] Formal languages and groups as memory

Mark Kambites|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2006

semigroups and automata theory参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文引入了$M$-自动机和$G$-自动机——即在有限自动机中增加一个存储单群或群元素的寄存器——以提供乔姆斯基-许茨勒定理的群论解释。该文证明，上下文无关语言恰好是双侧Dyck语言的有理转换，使用多项式单群和自由群作为计算模型，并建立了群的代数性质与语言类之间联系的基础性结果。

ABSTRACT

We present an exposition of the theory of finite automata augmented with a multiply-only register storing an element of a given monoid or group. Included are a number of new results of a foundational nature. We illustrate our techniques with a group-theoretic interpretation and proof of a key theorem of Chomsky and Schutzenberger from formal language theory.

研究动机与目标

• 统一具有单群/群记忆寄存器的自动机的计算与代数方法。
• 为计算机科学家和纯数学家提供$M$-自动机和$G$-自动机的自包含介绍。
• 建立单群和群的代数性质与语言类的封闭性质之间的基础性联系。
• 使用多项式单群和自由群，提供乔姆斯基-许茨勒定理的群论证明。
• 通过允许的填充和有理转换，证明堆栈自动机与自由群上的$G$-自动机之间的等价性。

提出的方法

• 将$M$-自动机定义为带有寄存器的有限自动机，该寄存器存储单群$M$中的元素，初始化为单位元，并在处理输入过程中通过乘法更新。
• 将$G$-自动机定义为$M$-自动机，其中$M$为群，并将接受定义为在寄存器重置为单位元的同时到达终态。
• 使用多项式单群$P(X)$和自由群$F(X^\#)$，通过Dyck语言接受与寄存器中单位元返回之间的同构关系，来建模堆栈自动机。
• 应用“允许填充”的概念——插入$\#$和$\#^{-1}$符号——将$\overline{X}^*$上的单词嵌入$F(X^\#)$和$P(X^\#)$中，同时保持单位元表示。
• 利用自由单群之间的有理转换，关联语言类，并表明上下文无关语言是Dyck语言在这些转换下的像。
• 通过证明存在一种允许填充，使得在自由群中保持单位元，从而建立堆栈自动机接受与自由群上$G$-自动机接受之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用具有群记忆的群论自动机重新解释并证明乔姆斯基-许茨勒定理？
• RQ2 多项式单群和自由群在建模堆栈自动机和上下文无关语言中起什么作用？
• RQ3 在$F(X^\#)$和$P(X^\#)$中的允许填充如何保持单位元表示，并实现自动机模型之间的等价性？
• RQ4 单群和群的哪些代数性质对应于$M$-自动机所识别的语言类的封闭性质？
• RQ5 有理转换以及在自由群或多项式单群上的自动机如何刻画上下文无关语言？

主要发现

• 通过自由群$F(X^\#)$上的$G$-自动机证明了乔姆斯基-许茨勒定理，表明上下文无关语言恰好是有理转换的双侧Dyck语言。
• 当且仅当$w$在$F(X^\#)$中存在表示单位元的允许填充时，$\overline{X}^*$上的单词$w$在多项式单群$P(X)$中表示单位元。
• 若$w$存在在$F(X^\#)$中表示单位元的允许填充，则$w$被自由群$F(X^\#)$上的$G$-自动机接受，当且仅当它被堆栈自动机接受。
• 该证明通过使用填充单词和寄存器中单位元返回，在堆栈自动机与自由群$F(X^\#)$上的$G$-自动机之间建立了双射。
• 当$G$是适当字母表上的自由群时，$G$-自动机所识别的语言类恰好与上下文无关语言类一致。
• 单群自动机理论为理解群的词问题及其与有理子集问题和语言类的关系提供了统一框架。